Zakon sinusov (sinusni izrek): definicija in uporaba v trigonometriji

Pravilo sinusa ali zakon sinusov je izrek v matematiki, ki pove zvezo med stranicami in nasprotnimi koti v poljubnem trikotniku. Če imamo trikotnik, kot je na sliki, velja naslednja enačba:

a sin A = b sin B = c sin C = D {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}},=\,{\frac {b}{\sin B}},=\,{\frac {c}{\sin C}},=\,D\! } ${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,D\!$

Ekvivalentna različica je:

sin A a = sin B b = sin C c {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\! } ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}\!$

D je enak premeru (diametru) kroga, v katerega je vpisan trikotnik, in ga pogosto zapišemo tudi kot 2R, kjer je R polmer vpisanega kroga (circumradius). Od tod sledi tudi uporabna formulacija:

a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.

Kratek dokaz

Obstajata vsaj dve enostavni dokaza:

Iz ploščine: ploščina trikotnika ABC je Δ = (1/2)bc sin A = (1/2)ca sin B = (1/2)ab sin C. Iz enakosti dveh izrazov dobimo npr. a/sin A = b/sin B. Podobno za ostale pare stranic.
Iz kroga: v trikotniku, vpisanem v krogi polmera R, je stranica a nasproti kota A dolga a = 2R sin A (po lastnosti vpisanega kota in središčnega kota). Zato je a/sin A = 2R enako za vse tri stranice.

Uporaba

Zakon sinusov se uporablja za iskanje preostalih stranic ali kotov, če poznamo:

dva kota in eno stranico (ASA ali AAS): najprej izračunamo tretji kot kot 180° − (znana kota), nato uporabimo zakon sinusov za izračun stranic;
dve strani in kot, ki ni vključen med njima (SSA): iz zakona sinusov dobimo možnost ene ali dveh rešitev (t. i. dvoumen primer), odvisno od vrednosti izraza za sinus.

Dvoumen (ambivalenten) primer — SSA

V splošnem, če poznamo stranici a in b ter kot A (kjer je a nasprotna kotu A), iz zakona sinusov dobimo:

sin B = (b sin A) / a.

Podobno velja za sin C. Možnosti so:

Če izraz (b sin A) / a > 1 → ni rešitve (ni možnega kota B).
Če izraz = 1 → ena rešitev (B = 90°).
Če je izraz v intervalu (0,1) → lahko sta dve možnosti za B: B1 = arcsin(...) ali B2 = 180° − B1. Oba lahko dajeta veljaven trikotnik le, če je A + B ≤ 180° (torej C ≥ 0°).

Uporabna geometrijska interpretacija (za lažjo presojo števila rešitev): obravnavajte višino h = b sin A (pri postavljeni stranici b kot osnovnici). Nato velja:

Če a < h → noben trikotnik.
Če a = h → natanko en pravokoten trikotnik.
Če h < a < b → dve rešitvi (dva različna trikotnika).
Če a ≥ b → natanko ena rešitev.

Številčne težave in priporočila

Pri računanju kota iz arcsin je treba paziti na zaokrožitve: če je vrednost blizu 1 ali −1 (kot približno 90° ali −90°), lahko majhne napake v vhodnih vrednostih vodijo do velikih razlik v izračunanem kotu. V takih primerih je pogosto bolj stabilno uporabiti zakon kosinusov ali preveriti rešitev z dodatnimi geometrijskimi pogoji.
Nikoli ne pozabite preveriti, ali izračunan kot skupaj z drugimi koti daje vsoto 180° — to pomaga odpraviti napačne (npr. spektralne) rešitve iz dvoumnega primera.

Primer

Naj bo A = 30°, B = 45° in stranica a = 10 (nasprotna kota A). Potem je C = 180° − 30° − 45° = 105°. Z zakonom sinusov dobimo:

b = a * sin B / sin A = 10 * sin 45° / sin 30° ≈ 10 * 0.7071 / 0.5 ≈ 14.14
c = a * sin C / sin A = 10 * sin 105° / sin 30° ≈ 10 * 0.9659 / 0.5 ≈ 19.32

Povezava z zakonom kosinusov

Zakon sinusov in zakon kosinusov sta osnovni orodji za reševanje splošnih trikotnikov. Zakon kosinusov je uporaben, kadar so znane vse tri strani ali ko poznamo dve strani in vmesni kot (SAS). Zakon sinusov je preprost in priročen predvsem pri ASA, AAS in pri SSA (ob upoštevanju dvoumnosti).

Zakon sinusov je zato ključna trigonometrična povezava, ki povezuje geometrijo trikotnika s funkcijami sinusa in omogoča reševanje mnogih problemov v geometriji, navigaciji in trigonometrskem računjanju.

Trikotnik, označen s črkami, potrebnimi za to razlago. A, B in C so koti. a je stranica nasproti A . b je stranica nasproti B . c je stranica nasproti C.

Dokaz

Površina T {\displaystyle T} $T$ vsakega trikotnika je lahko zapisana kot polovica njegove osnove, pomnožena z njegovo višino (gledano z vrha, ki ni na osnovi). Glede na to, katero stranico izberemo za osnovo, je površina podana z

T = 1 2 b ( c sin A ) = 1 2 c ( a sin B ) = 1 2 a ( b sin C ) . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,. } $T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.$

Če jih pomnožimo z 2 / a b c {\displaystyle 2/abc} $2/abc$ , dobimo

2 T a b c = sin A a = sin B b = sin C c . {\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}},. } ${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je zakon sinusov?

O: Zakon sinusov, znan tudi kot pravilo sinusov, je trditev v matematiki, ki pravi, da če imamo trikotnik, kot je na sliki, potem bo enačba pravilna.

V: Kaj pove ta enačba?

O: Ta enačba pravi, da bo razmerje med dolžino vsake stranice in sinusom nasprotnega kota enako.

V: Kako se uporablja?

O: Zakon sinusov lahko uporabimo za iskanje preostalih stranic trikotnika, če poznamo dva kota in stranico. Prav tako ga lahko uporabimo, če sta znani dve stranici in eden od kotov, ki nista sklenjena s stranicama.

V: Kaj se zgodi v dvoumnem primeru?

O: V nekaterih primerih formula podaja dve možni vrednosti za sklenjeni kot. To se imenuje dvoumen primer.

V: Kako se enačba primerja z drugimi trigonometričnimi enačbami?

O: Sinusov zakon je ena od dveh trigonometričnih enačb, ki se uporabljata za iskanje dolžin in kotov v skalenih trikotnikih. Druga je zakon kosinusov.

V: Čemu je enak D? O: D je enak premeru krožnice trikotnika.