Verjetnostni prostor: definicija, vzorčni prostor, σ-algebra in verjetnost

Pregled verjetnostnega prostora: definicija, vzorčni prostor, σ-algebra in funkcija verjetnosti — jasna razlaga in primeri za študij in praktične aplikacije.

Verjetnostni prostor je matematični model, ki se uporablja za opis znanstvenih poskusov. Namen modela je formalno zajeti vse možne izide poskusa in preslikati dogodke v številčne verjetnosti. Verjetnostni prostor je sestavljen iz treh osnovnih delov:

1. Vzorčni prostor, v katerem so navedeni vsi možni izidi
2. Niz dogodkov. Vsak dogodek povezuje nič ali več izidov
3. Funkcija, ki vsakemu dogodku pripiše verjetnost.

Rezultat je rezultat ene same izvedbe modela. Ker so posamezni izidi morda malo uporabni v praksi, se za opisovanje skupin izidov uporabljajo kompleksnejši dogodki. Zbirka vseh takih dogodkov je σ-algebra F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}} . Nazadnje je treba za vsak dogodek določiti verjetnost, da se bo zgodil. To storimo z uporabo funkcije mere verjetnosti, P.

Ko je prostor verjetnosti določen, se predpostavlja, da "narava" naredi svojo potezo in izbere en izid, ω, iz vzorčnega prostora Ω. Za vse dogodke v F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {F}}}, ki vsebujejo izbrani izid ω (spomnimo se, da je vsak dogodek podmnožica Ω), pravimo, da so se "zgodili". Izbira, ki jo opravi narava, je izvedena tako, da bi se, če bi poskus ponovili neskončno velikokrat, relativne frekvence pojavljanja vsakega od dogodkov ujemale z verjetnostmi, ki jih predpisuje funkcija P.

Ugledni sovjetski matematik Andrej Kolmogorov je v tridesetih letih prejšnjega stoletja uvedel pojem verjetnostnega prostora skupaj z drugimi aksiomi verjetnosti. Njegova formalizacija povezuje verjetnost s teorijo mer in omogoča uporabo matematičnih orodij iz realne analize in funkcionalne analize.

Formalna definicija

Formalno je verjetnostni prostor trojka (Ω, F, P), kjer:

• Ω (vzorčni prostor) je množica vseh možnih izidov poskusa (npr. {glava, rep} za met kovanca ali množica realnih števil za meritev temperature).
• F je σ-algebra nad Ω: zbirka podmnožic Ω, ki vsebuje Ω in je zaprta za komplement in za števne unije. Zaradi tega vsebuje tudi prazno množico ∅.
• P je verjetnostna mera: funkcija P: F → [0,1], ki zadošča Kolmogorovim aksiomom (glej spodaj) in meri "velikost" dogodkov.

Lastnosti σ-algebre

• Vzpostavitev: Ω ∈ F in ∅ ∈ F.
• Zaprtost za komplement: če A ∈ F, potem je tudi A^c = Ω \ A ∈ F.
• Zaprtost za števne unije: če je A1, A2, A3, ... ∈ F, potem je ∪_{i=1}^∞ Ai ∈ F. Iz tega sledi zaprtost za števne preseke s pomočjo De Morganovih zakonov.

σ-algebra omogoča obravnavo tudi neskončnih dogodkov (npr. "izmerjena vrednost je racionalno število"), kar je nujno pri številnih realnih modelih.

Aksiomi verjetnosti (Kolmogorov)

• Ne-negativnost: za vsak dogodek A ∈ F velja P(A) ≥ 0.
• Normalizacija: P(Ω) = 1 (verjetnost, da se zgodi neki izid iz vzorčnega prostora, je 1).
• Števna aditivnost: za vsako zaporedje medsebojno disjunktnih dogodkov A1, A2, ... ∈ F je P(∪_{i=1}^∞ Ai) = Σ_{i=1}^∞ P(Ai).

Posledice aksiomov

• P(∅) = 0.
• Monotonost: če A ⊆ B sta v F, potem P(A) ≤ P(B).
• Formule za unije in preseke: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (in analogno za več množic z vključno–izključujočo formulo).

Primeri

Diskreten primer: pri poštenem metanju kovanca je Ω = {glava, rep}, tipična σ-algebra je vse možne podmnožice, in P({glava}) = 1/2, P({rep}) = 1/2. Za kocko z enakimi stranicami je Ω = {1,2,3,4,5,6} in za poenostavljen model P({i}) = 1/6.

Kontinuiran primer: pri meritvi časa dogodka, ki ga modeliramo z realnimi števili, je smiselno vzeti Ω = R in kot σ-algebra borelovsko σ-algebra B(R). Verjetnostna mera je lahko absolutno z Borelovo mero povezana z gostoto f(x) (npr. normalna porazdelitev): P(A) = ∫_A f(x) dx za A ∈ B(R).

Pogojna verjetnost in neodvisnost

Pogojna verjetnost dogodka A, glede na to, da se je zgodil dogodek B z nenicelno verjetnostjo, je definirana kot

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (če P(B) > 0).

Dogodka A in B sta neodvisna, če P(A ∩ B) = P(A) P(B). Neodvisnost lahko razširimo tudi na nabor dogodkov (v tem primeru govorimo o medsebojni ali popolni neodvisnosti), kar je pomembno pri gradnji zapletenih modelov (npr. pri verjetnostnih grafih ali modelih z več spremenljivkami).

Povezava z merami in naključne spremenljivke

Verjetnostne mere so posebni primeri mer v teoriji mer; to omogoča uporabo močnih rezultatov iz merljive teorije (npr. Lebesgueov integral). Naključna spremenljivka X je merljiv preslikava X: Ω → (E, Epsilon), kjer je (E, Epsilon) merljiv prostor (pogosto E = R z Borelovo σ-algebro). Distribucija X je potisnjena mera P_X(A) = P(X ∈ A).

Praktične opombe

• Pri modeliranju je izbira primerne σ-algebre pomembna: preširoka σ-algebra (vse podmnožice) je za neskončne Ω pogosto nepraktična, zato uporabljamo npr. borelovo σ-algebro ali σ-algebre, generirane z določenim naborom dogodkov.
• Pri numeričnem delu se pogosto delamo posnete (diskretne) približke za kontinuirane modele, uporablja se Monte Carlo simulacija in metode integracije.

Kolikor želi bralec poglobljeno razumevanje, so koristne teme za nadaljnje študije: teorija mer in integrala (Lebesgue), zakon velikih števil, centralni limitni izrek, markovljevi procesi in teorija stohastičnih procesov. Ta okvir (Ω, F, P) je osnova za vse te naprednejše rezultate in aplikacije v statistiki, fiziki, ekonomiji in drugih vedah.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je verjetnostni prostor?

V: Iz česa je sestavljen vzorčni prostor?

V: Kaj je izid?

V: Za kaj se uporabljajo dogodki v verjetnostnih prostorih?

V: Kako so vsakemu dogodku dodeljene verjetnosti?

Išči po črki