Kvadratni koren iz 2: definicija, lastnosti in geometrijski pomen

Kvadratni koren iz 2 ali (1/2)-ta moč 2, v matematiki zapisan kot √2 ali $2 $ ^1⁄₂ , je pozitivno iracionalno število, ki je ob množenju s samim seboj enako številu 2. Pravilneje je, da ga imenujemo glavni kvadratni koren iz 2, da bi ga ločili od negativne različice samega sebe, kjer je to prav tako res.

Geometrično je kvadratni koren iz 2 dolžina diagonale v kvadratu s stranicami dolžine ena; to lahko ugotovimo s Pitagorovim izrekom.

Osnovne lastnosti

Minimalni polinom: √2 je koren kvadratne enačbe x² − 2 = 0, zato je algebraično število stopnje 2.
Iracionalnost: nima končne ali ponavljajoče se decimalne predstavitve; ni mogoče izraziti kot ulomek dveh celih števil.
Decimalna približka: približno √2 ≈ 1,4142135623730951... Decimalke se ne ponavljajo in ne prenehajo.
Verižni ulomek: njegov preprosti verižni ulomek je periodičen: √2 = [1; 2, 2, 2, ...], kar pojasni zelo dobre racionalne približke.
Konstruktilnost: √2 je konstruktilno število s pomočjo ravnila in šestila (diagonala enotskega kvadrata), zato je tudi geometrijsko izvedljiv.

Klasičen dokaz iracionalnosti (na kratko)

Najpogostejši dokaz poteka z nasprotovanjem: predpostavimo, da √2 = p/q znesen v krajšem ulomku (p in q sta cela števila brez skupnega faktorja). Kvadriranjem dobimo 2 = p²/q², torej p² = 2q². Iz tega sledi, da je p² sodo, zato je tudi p sodo. Naj bo p = 2k. Vstavimo nazaj: (2k)² = 4k² = 2q², torej q² = 2k², kar pomeni, da je tudi q sodo. To je v nasprotju s predpostavko, da sta p in q nesorazmerna. Torej √2 ne more biti racionalno število.

Verižni ulomek, aproksimacije in povezava s Pellovo enačbo

Ker ima verižni ulomek obliko [1; 2, 2, 2, ...], so njegove konvergentne aproksimacije zelo dobre racionalne približke. Nekateri začetni konvergenti so 1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ... Ti ulomki so tesno povezani s rešitvami Pellove enačbe x² − 2y² = ±1: če (x, y) rešita to enačbo, potem x/y približa √2. Rešitve Pellove enačbe izhajajo iz ponavljajoče se strukture verižnega ulomka in so uporabne v teoriji števil.

Geometrijski pomen in konstrukcija

Najpreprostejša geometrijska interpretacija √2 je dolžina diagonale enotskega kvadrata, kar izhaja iz Pitagorovega izreka: diagonalna dolžina d zadovolji d² = 1² + 1² = 2, torej d = √2. Zaradi tega je √2 tudi dolžina stranice kvadrata z enoto površine 2.

Ker je mogoče z ravnilom in šestilom izrisati enotski kvadrat in njegovo diagonalo, je √2 tudi konstruktilno število v klasičnem geometrijskem pomenu.

Uporabe in zgodovinski pomen

Iracionalnost √2 je bila ena izmed prvih znanih iracionalnosti in je v antiki močno vplivala na razvoj matematike (grški matematik in pitagorejci). Današnje uporabe vključujejo:

osnovne geometrijske izračune (razmerja v pravokotnih trikotnikih, diagonale),
teorijo števil in reševanje Pellovih enačb,
matematiko kvadratnih polj in enot v obročih tipa Z[√2],
praktčne meritve in konstrukcije v arhitekturi in inženirstvu, kjer se pojavlja razmerje med stranicami in diagonalami.

Kratek povzetek

√2 je pozitivna kvadratna korenina številke 2, iracionalno in algebraično število stopnje 2, z neskončno neponavljajočo se decimalno razvijo in periodičnim verižnim ulomkom [1;2,2,...]. Geometrijsko predstavlja diagonalo enotskega kvadrata, njen odkritje kot iracionalnega števila pa je imelo velik vpliv na zgodovino matematike.

Kvadratni koren iz 2 je enak dolžini hipotenuze pravokotnega trikotnika z rameni dolžine 1

Dokaz, da kvadratni koren iz 2 ni racionalen

Število 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ ni racionalno. Tukaj je dokaz.

Predpostavimo, da je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ racionalno. Torej obstajajo števila a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ takšna, da je a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}} $a/b={\sqrt {2}}$ .
Izberemo lahko a in b tako, da je a ali b lihasto število. Če bi bila a in b soda, bi lahko ulomek poenostavili (na primer namesto 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} bi zapisali 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} ${\frac {2}{4}}$ bi lahko namesto tega zapisali 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ${\frac {1}{2}}$ ).
Če obe strani enačbe kvadriramo, dobimo a² / b² = 2 in a² = 2 b² .
Desna stran je 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} $2b^{2}$ . To število je sodo. Torej mora biti tudi leva stran liha. Torej je a 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ sodo. Če liho število kvadriramo, bo rezultat liho število. Če pa kvadratno ponazorimo liho število, bo rezultat prav tako liho število. Torej je a {\displaystyle a} sodo.
Ker je a sodo, ga lahko zapišemo kot: a = 2 k {\displaystyle a=2k} $a=2k$ .
Uporabi se enačba iz koraka 3. Dobimo 2b² = (2k)²
Uporabimo lahko eksponentno pravilo (glej članek) - rezultat je 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}} $2b^{2}=4k^{2}$ .
Obe strani delimo z 2. Torej je b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} $b^{2}=2k^{2}$ . To pomeni, da je b {\displaystyle b} $b$ sodo.
V 2. koraku smo rekli, da je a liha ali b liha. V 4. koraku pa smo rekli, da je a sodo, v 7. koraku pa smo rekli, da je b liho. Če je predpostavka, ki smo jo postavili v koraku 1, resnična, potem morajo biti resnične tudi vse druge stvari, ker pa se med seboj ne strinjajo, ne morejo biti vse resnične; to pomeni, da naša predpostavka ni resnična.