Kvadratni koren iz 2
Kvadratni koren iz 2 ali (1/2)-ta moč 2, v matematiki zapisan kot √2 ali 21⁄2 , je pozitivno iracionalno število, ki je ob množenju s samim seboj enako številu 2. Pravilneje je, da ga imenujemo glavni kvadratni koren iz 2, da bi ga ločili od negativne različice samega sebe, kjer je to prav tako res.
Geometrično je kvadratni koren iz 2 dolžina diagonale v kvadratu s stranicami dolžine ena; to lahko ugotovimo s Pitagorovim izrekom.
Kvadratni koren iz 2 je enak dolžini hipotenuze pravokotnega trikotnika z rameni dolžine 1
Dokaz, da kvadratni koren iz 2 ni racionalen
Število 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}
ni racionalno. Tukaj je dokaz.
- Predpostavimo, da je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} racionalno. Torej obstajajo števila a , b {\displaystyle a,b}
takšna, da je a / b = 2 {\displaystyle a/b={\sqrt {2}}}
. - Izberemo lahko a in b tako, da je a ali b lihasto število. Če bi bila a in b soda, bi lahko ulomek poenostavili (na primer namesto 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} bi zapisali 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}}
bi lahko namesto tega zapisali 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
). - Če obe strani enačbe kvadriramo, dobimo a2 / b2 = 2 in a2 = 2 b2 .
- Desna stran je 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}}
. To število je sodo. Torej mora biti tudi leva stran liha. Torej je a 2 {\displaystyle a^{2}}
sodo. Če liho število kvadriramo, bo rezultat liho število. Če pa kvadratno ponazorimo liho število, bo rezultat prav tako liho število. Torej je a {\displaystyle a}
sodo. - Ker je a sodo, ga lahko zapišemo kot: a = 2 k {\displaystyle a=2k}
. - Uporabi se enačba iz koraka 3. Dobimo 2b2 = (2k)2
- Uporabimo lahko eksponentno pravilo (glej članek) - rezultat je 2 b 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2b^{2}=4k^{2}}
. - Obe strani delimo z 2. Torej je b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}}
. To pomeni, da je b {\displaystyle b}
sodo. - V 2. koraku smo rekli, da je a liha ali b liha. V 4. koraku pa smo rekli, da je a sodo, v 7. koraku pa smo rekli, da je b liho. Če je predpostavka, ki smo jo postavili v koraku 1, resnična, potem morajo biti resnične tudi vse druge stvari, ker pa se med seboj ne strinjajo, ne morejo biti vse resnične; to pomeni, da naša predpostavka ni resnična.
Ni res, da je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} racionalno število. Torej je 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} iracionalno.
