Cantorjev diagonalni argument: dokaz in pomen za kardinalnost množic

Cantorjev diagonalni argument: jasen dokaz in pomen za kardinalnost množic — razumevanje neskončnosti, bijekcije in razlik v velikosti množic.

Avtor: Leandro Alegsa

08-11-2025 17:28

Cantorjev diagonalni argument ni metoda za dokazovanje, da imata dve neskončni množici enako kardinalnost, temveč orodje za prikaz, da si nekatere neskončne množice kardinalno razlikujejo — torej da ni bijekcije med njima. Cantor je o lastnostih kardinalnosti in odnosih med množicami pisal v poznem 19. stoletju (med drugim v delih iz let 1877, 1891 in 1899), svojo diagonalno idejo je predstavil v delih iz istega obdobja (revija nemškega matematičnega društva in druga izhodišča). Po Cantorju imata dve množici enako kardinalnost, če obstaja bijektivna preslikava med njima — to deluje intuitivno za končne množice, medtem ko je pri neskončnih množicah treba previdno ločevati različne »velikosti« neskončnosti.

Kaj diagonalni argument dokazuje

Osrednja ugotovitev diagonalnega argumenta je, da je množica realnih števil (na primer interval [0,1]) neskončno večja od množice naravnih števil — ni mogoče izporediti (»našteti«) vseh realnih števil s seznamom, indeksiranim z naravnimi števili. Splošnejša in še močnejša Cantorjeva trditev pravi, da ima za vsako množico A njena potenčna množica P(A) strogo večjo kardinalnost kot sama A (Cantorjeva teorija potenčnih množic).

Ideja dokaza za realna števila (diagonalni trik)

Predpostavimo za protislovje, da bi bila množica realnih števil v intervalu [0,1] »preštevilna« — to pomeni, da bi jih lahko zapisali v seznam r1, r2, r3, ... Vsako ri izrazimo v decimalni (ali binarni) oblikI kot niza cifr. Zgradimo novo realno število r tako, da se njegova n-ta decimalka razlikuje od n-te decimalko števila rn (na primer: če je n-ta decimala rn enaka 3, vzamemo pri r številko 4; ali v binarnem zapisu zamenjamo 0 z 1 in obratno). Tako pridobljeno r se razlikuje od prvega v prvem decimalnem mestu, od drugega v drugem, itd., torej se razlikuje od vsakega števila iz seznama v vsaj enem decimalnem mestu. Zato r ni na seznamu — nasprotno s predpostavko, da seznam vsebuje vsa realna števila. To pomeni, da so realna števila nepreštevilna (uncountable).

Opomba o decimalnih predstavitvah: nekatera števila imajo dve decimalni predstavitvi (npr. 0,4999... = 0,5). To tehnično težavo odpravimo tako, da pri konstrukciji ne uporabljamo cifre 9 (ali izberemo binarni zapis), da zagotovimo, da novo število ni le alternativna predstavitev obstoječega števila na seznamu.

Cantorjeva teorema o potenčnih množicah (formalni diagonalni dokaz)

Naj bo A poljubna množica in predpostavimo, da obstaja funkcija f: A → P(A), ki domnevno preslika A na njegovo potenčno množico surjektivno. Definirajmo množico S = {x ∈ A | x ∉ f(x)}. Ker je S podmnožica A, bi moralo veljati, da S = f(y) za nek y ∈ A (če je f surjektivna). Zdaj preverimo, ali y ∈ S:

Če y ∈ S, potem po definiciji S = f(y) vsebuje y, kar pomeni y ∈ f(y) — vendar S vsebuje natanko tiste elemente, ki niso v svojih slikah, kar je protislovje.
Če y ∉ S, potem y ni v f(y), torej po definiciji S kot množice elementov, ki niso v svojih slikah, sledi y ∈ S — prav tako protislovje.

Torej takšne surjektivne funkcije f ne more biti. S tem je dokazano, da za vsako množico A velja |P(A)| > |A| — potenčna množica ima strogo večjo kardinalnost.

Posledice in pomen

Različne vrste neskončnosti: Naravna števila, cela števila in racionalna števila so preštevilne (countable) — obstaja bijekcija z N. Realna števila so nepreštevilna; njihova kardinalnost pogosto označimo s 2^{aleph_0} ali c (»kontinuum«).
Hierarhija kardinalnosti: Cantorjeva trditev o potenčnih množicah vodi do neskončnega naraščajočega zaporedja vedno večjih kardinalnosti: |A| < |P(A)| < |P(P(A))| < ...
Kontinuum hipoteza: vprašanje, ali obstaja kardinalnost med |N| in |R| (to je, ali je |R| = aleph_1), je znano kot kontinumska hipoteza; to je neodvisno od običajnih aksiomov množic (ZFC).
Uporabe zunaj teorije množic: diagonalizacija se uporablja tudi v logiki in računalniški teoriji — npr. v Gödelovih dokazih o nepopolnosti, pri dokazih nerazrešljivosti (Turingov problem ustavljanja) in pri redkih rezultatih v kompleksnostni teoriji.

Zaključek

Cantorjev diagonalni argument je preprosta, a globoka metoda, ki je spremenila razumevanje neskončnosti v matematiki. Pokaže, da se »velikost« neskončnih množic razlikuje in da so nekatere množice (kot realna števila ali potenčne množice poljubnih množic) kardinalno večje od drugih (kot so naravna števila). Razširjena raba diagonalizacije v matematiki in računalništvu kaže na univerzalnost in moč te metode.

Cantorjev prvi diagonalni argument

V spodnjem primeru sta uporabljeni dve najpreprostejši neskončni množici, množica naravnih števil in množica pozitivnih ulomkov. Ideja je pokazati, da sta obe množici, N {\displaystyle \mathbb {N} } $\mathbb {N}$ in Q + {\displaystyle \mathbb {Q^{+}} } $\mathbb {Q^{+}}$ imata enako kardinalnost.

Najprej deleže poravnamo v matriko, kot sledi:

1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 ⋯ 2 1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 ⋯ 3 1 3 2 3 3 3 3 4 3 5 ⋯ 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 ⋯ 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccc}{\tfrac {1}{1}}&&{\tfrac {1}{2}}&&{\tfrac {1}{3}}&&{\tfrac {1}{4}}&&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {2}{1}}&&{\tfrac {2}{2}}&&{\tfrac {2}{3}}&&{\tfrac {2}{4}}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {3}{1}}&&{\tfrac {3}{2}}&&{\tfrac {3}{3}}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}&&{\tfrac {4}{2}}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\&&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Nato preštejemo številke, kot je prikazano na sliki. Deleži, ki jih je mogoče poenostaviti, so izpuščeni:

1 1 ( 1 ) → 1 2 ( 2 ) 1 3 ( 5 ) → 1 4 ( 6 ) 1 5 ( 11 ) → ↙ ↙ 2 1 ( 3 ) 2 2 ( ⋅ ) 2 3 ( 7 ) 2 4 ( ⋅ ) 2 5 ⋯ ↓ ↙ 3 1 ( 4 ) 3 2 ( 8 ) 3 3 ( ⋅ ) 3 4 3 5 ⋯ ↙ 4 1 ( 9 ) 4 2 ( ⋅ ) 4 3 4 4 4 5 ⋯ ↓ 5 1 ( 10 ) 5 2 5 3 5 5 4 5 5 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{{\color {MidnightBlue}\rightarrow}&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}} ${\begin{array}{lclclclclc}{\tfrac {1}{1}}\ _{\color {Blue}(1)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{2}}\ _{\color {Blue}(2)}&&{\tfrac {1}{3}}\ _{\color {Blue}(5)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }&{\tfrac {1}{4}}\ _{\color {Blue}(6)}&&{\tfrac {1}{5}}\ _{\color {Blue}(11)}&{\color {MidnightBlue}\rightarrow }\\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&\\{\tfrac {2}{1}}\ _{\color {Blue}(3)}&&{\tfrac {2}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{3}}\ _{\color {Blue}(7)}&&{\tfrac {2}{4}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {2}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&\\{\tfrac {3}{1}}\ _{\color {Blue}(4)}&&{\tfrac {3}{2}}\ _{\color {Blue}(8)}&&{\tfrac {3}{3}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {3}{4}}&&{\tfrac {3}{5}}&\cdots \\&{\color {MidnightBlue}\swarrow }&&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&\\{\tfrac {4}{1}}\ _{\color {Blue}(9)}&&{\tfrac {4}{2}}\ _{\color {Blue}(\cdot )}&&{\tfrac {4}{3}}&&{\tfrac {4}{4}}&&{\tfrac {4}{5}}&\cdots \\{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\nearrow }&&&&&&&&\\{\tfrac {5}{1}}\ _{\color {Blue}(10)}&&{\tfrac {5}{2}}&&{\tfrac {5}{3}}&&{\tfrac {5}{4}}&&{\tfrac {5}{5}}&\cdots \\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots &\\\end{array}}$

Na ta način se preštejejo ulomki:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 1 1 2 2 3 1 3 1 4 2 3 3 2 4 5 1 5 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]1&{\tfrac {1}{2}}&2&3&{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&{\tfrac {3}{2}}&4&5&{\tfrac {1}{5}}&\cdots \\\end{array}}$

Če izpustimo ulomke, ki jih je še vedno mogoče poenostaviti, dobimo bijekcijo, ki vsak element naravnih števil poveže z enim elementom ulomkov:

Da bi pokazali, da imajo vsa naravna števila in ulomki enako kardinalnost, je treba dodati element 0; za vsakim ulomkom je dodan njegov negativ;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋯ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1 - 1 1 2 - 1 2 2 - 2 3 - 3 1 3 - 1 3 1 4 - 1 4 2 3 - 2 3 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{\ccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}} ${\begin{array}{cccccccccccccccc}{\color {Blue}1}&{\color {Blue}2}&{\color {Blue}3}&{\color {Blue}4}&{\color {Blue}5}&{\color {Blue}6}&{\color {Blue}7}&{\color {Blue}8}&{\color {Blue}9}&{\color {Blue}10}&{\color {Blue}11}&{\color {Blue}12}&{\color {Blue}13}&{\color {Blue}14}&{\color {Blue}15}&{\color {Blue}\cdots }\\[3pt]{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }&{\color {MidnightBlue}\downarrow }\\[3pt]0&1&-1&{\tfrac {1}{2}}&-{\tfrac {1}{2}}&2&-2&3&-3&{\tfrac {1}{3}}&-{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}&-{\tfrac {1}{4}}&{\tfrac {2}{3}}&-{\tfrac {2}{3}}&\cdots \\\end{array}}$

Tako obstaja popolna bijekcija, ki vsakemu naravnemu številu pripiše ulomek. Z drugimi besedami: obe množici imata enako kardinalnost. Danes množice, ki imajo enako število elementov kot množica naravnih števil, imenujemo števne. Množice, ki imajo manj elementov kot množica naravnih števil, se imenujejo kvečjemu števne. S to definicijo je množica racionalnih števil / ulomkov števna.

Neskončne množice imajo pogosto lastnosti, ki so v nasprotju z intuicijo: David Hilbert je to pokazal v poskusu, ki se imenuje Hilbertov paradoks Grand hotela.

Realna števila

Množica realnih števil nima enake kardinalnosti kot množica naravnih števil; realnih števil je več kot naravnih. Zgoraj opisana zamisel je vplivala na njegov dokaz. V svojem članku iz leta 1891 je Cantor obravnaval množico T vseh neskončnih zaporedij binarnih številk (tj. vsaka številka je nič ali ena).

Začne s konstruktivnim dokazom naslednjega izreka:

Če je s₁ , s₂ , ... , s_n , ... poljubno naštevanje elementov iz T, potem vedno obstaja element s iz T, ki mu ne ustreza noben s_n v naštevanju.

To dokažemo tako, da imamo na voljo naštevanje elementov iz T, kot je npr.

s₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂ =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Zaporedje s sestavimo tako, da izberemo 1. števko kot komplementarno 1. števki s₁ (zamenjamo 0 za 1 in obratno), 2. števko kot komplementarno 2. števki s₂ , 3. števko kot komplementarno 3. števki s₃ in na splošno za vsak n števko n^th kot komplementarno števki n^th s_n . V primeru to daje

s₁	=	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s₂	=	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
s₃	=	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
s₄	=	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
s₅	=	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
s₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
s₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

s	=	(1,	0,	1,	1,	1,	0,	1,	...)

Po konstrukciji se s razlikuje od vsakega s_n , saj se n^th številke razlikujejo (v primeru so označene). Zato se s ne more pojaviti v naštevanju.

Na podlagi tega izreka Cantor s pomočjo dokaza s protislovjem pokaže, da:

Množica T je nepregledna.

Zaradi protislovja predpostavlja, da je bil T prešteven. V tem primeru bi lahko vse njegove elemente zapisali kot naštevanje s₁ , s₂ , ... , s_n , ... . Če bi za to naštevanje uporabili prejšnji izrek, bi dobili zaporedje s, ki ne spada v naštevanje. Vendar pa je s element T in bi zato moral biti v naštevanju. To je v nasprotju s prvotno predpostavko, zato mora biti T nešteven.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Cantorjev diagonalni argument?

O: Cantorjev diagonalni argument je matematična metoda za dokazovanje, da imata dve neskončni množici enako kardinalnost.

V: Kdaj je Cantor objavil članke o svojem diagonalnem argumentu?

O: Cantor je članke o svojem diagonalnem argumentu objavil leta 1877, 1891 in 1899.

V: Kje je bil objavljen prvi Cantorjev dokaz diagonalnega argumenta?

O: Cantorjev prvi dokaz diagonalnega argumenta je bil objavljen leta 1890 v reviji Nemškega matematičnega društva (Deutsche Mathematiker-Vereinigung).

V: Kdaj imata po Cantorju dve množici enako kardinalnost?

O: Po Cantorju imata dve množici enako kardinalnost, če je mogoče element iz druge množice povezati z vsakim elementom prve množice in element iz prve množice povezati z vsakim elementom druge množice.

V: Ali se Cantorjeva izjava o kardinalnosti dobro obnese za množice s končnim številom elementov?

O: Da, Cantorjeva izjava se dobro obnese za množice s končnim številom elementov.

V: Ali je Cantorjeva izjava o kardinalnosti intuitivna za množice z neskončnim številom elementov?

O: Ne, Cantorjeva izjava o kardinalnosti je manj intuitivna za množice z neskončnim številom elementov.

V: Kolikokrat je Cantor objavil članke o svojem diagonalnem argumentu?

O: Cantor je trikrat objavil članke o svojem diagonalnem argumentu - leta 1877, 1891 in 1899.

Iskati