Bijektivna preslikava

Osnovne lastnosti

Uradno:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je bijektivna funkcija, če ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} obstaja edinstven a ∈ A {\displaystyle a\in A} tak, da f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Element b {\displaystyle b} se imenuje podoba elementa a {\displaystyle a} .

• Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B je podoba natanko enega elementa v domeni A.

Element a {\displaystyle a} se imenuje predpodoba elementa b {\displaystyle b} .

• Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B ima natanko eno predpodobo v domeni A.

Opomba: Surjekcija pomeni najmanj eno predsliko. Vbrizgavanje pomeni največ eno predpodobo. Torej bijekcija pomeni natanko eno predpodobo.

Kardinalnost

Kardinalnost je število elementov v množici. Kardinalnost množice A={X,Y,Z,W} je 4. Zapišemo #A=4.

• Opredelitev: Dve množici A in B imata enako kardinalnost, če med njima obstaja bijekcija. Torej #A=#B pomeni, da obstaja bijekcija iz A v B.

Bijekcije in inverzne funkcije

• Bijekcije so inverzne, če obrnemo puščice. Nova funkcija se imenuje inverzna funkcija.

Uradno: Naj bo f : A → B bijekcija. Inverzna funkcija g : B → A je definirana tako, da če f(a)=b, potem g(b)=a. (Glej tudi Inverzna funkcija.)

• Inverzna funkcija inverzne funkcije je prvotna funkcija.
• Funkcija ima inverzno funkcijo, če in samo če je bijekcija.

Opomba: Zapis za obratno funkcijo f je zmeden. Namreč,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} označuje obratno funkcijo funkcije f, x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} pa označuje recipročno vrednost števila x.

Primeri

Elementarne funkcije

Naj bo f(x):ℝ→ℝ realno ovrednotena funkcija y=f(x) realno ovrednotenega argumenta x. (To pomeni, da sta vhod in izhod števila.)

• Grafični pomen: Funkcija f je bijekcija, če vsaka vodoravna črta seka graf funkcije f v natanko eni točki.
• Algebrski pomen: Funkcija f je bijekcija, če lahko za vsako realno število y_o najdemo vsaj eno realno število x_o tako, da je y_o =f(x_o ) in če f(x_o )=f(x₁ ) pomeni x_o =x₁ .

Primer: Linearna funkcija poševne črte je bijekcija. To je y=ax+b, kjer je a≠0 bijekcija.

Razprava: Vsaka vodoravna črta seka poševno črto v natanko eni točki (za dokaze glej surjekcijo in injekcijo). Slika 1.

Primer: Polinomska funkcija tretje stopnje: f(x)=x³ je bijekcija. Slika 2 in slika 5, tanka rumena krivulja. Njena obratna funkcija je funkcija kubičnega korena f(x)= ∛x in je prav tako bijekcija f(x):ℝ→ℝ. Slika 5: debela zelena krivulja.

Primer: Kvadratna funkcija f(x) = x² ni bijekcija (iz ℝ→ℝ). Slika 3. Ni surjekcija. Ni injekcija. Vendar lahko njeno domeno in kodomeno omejimo na množico nenegativnih števil (0,+∞) in dobimo (inverzno) bijekcijo (glej spodnje primere).

• domena
• funkcijski stroj
• sorodno področje

Primer: Recimo, da je naša funkcija f(x)=x².

• Ta stroj in domena=ℝ in kodomena=ℝ nista surjekcija in ne injekcija. Vendar,
• ta isti stroj in domena=[0,+∞) in kodomena=[0,+∞) je hkrati surjekcija in injekcija ter tako bijekcija.

Bijekcije in njihove inverzije

Naj bo f(x):A→B, kjer sta A in B podmnožici ℝ.

• Predpostavimo, da f ni bijekcija. Za vsak x, kjer derivat f obstaja in ni enak nič, obstaja okolica x, kjer lahko omejimo domeno in kodomeno f na bisekcijo.
• Grafi inverznih funkcij so simetrični glede na premico y=x. (Glej tudi Inverzna funkcija.)

Primer: Kvadratna funkcija, definirana na omejeni domeni in kodomeni [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} opredeljeno s f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

je bijekcija. Slika 6: tanka rumena krivulja.

Primer: Funkcija kvadratnega korena, definirana na omejeni domeni in kodomeni [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} opredeljeno s f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

je bijekcija, definirana kot obratna funkcija kvadratne funkcije: x² . Slika 6: debela zelena krivulja.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )} definirano s f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}

je bijekcija. Slika 4: tanka rumena krivulja (a=10).

Primer: Logaritemska funkcija baza a je definirana na omejenem področju (0,+∞) in kodnem področju ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} } opredeljeno s f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1}

je bijekcija, opredeljena kot obratna funkcija eksponentne funkcije: a^x . Slika 4: debela zelena krivulja (a=10).

Sorodne strani

• Funkcija (matematika)
• Surjektivna funkcija
• Injektivna funkcija
• Inverzna funkcija