Bijekcija (bijektivna funkcija): definicija, lastnosti in primeri
Bijekcija: jasna definicija, ključne lastnosti in razumljivi primeri, ki pojasnijo 1-1 korespondenco med domeno in kodomeno za lažje razumevanje.
V matematiki je bijektivna funkcija ali bijekcija funkcija f : A → B, ki je hkrati injekcija in surjekcija. To pomeni, da za vsak element b v kodni domeni B obstaja natanko en element a v domeni A, tako da je f(a) = b. Drugo ime za bijekcijo je 1-1 korespondenca ali obratno-enolična preslikava.
Osnovne lastnosti
- Injektivnost: Če je f injektivna, različni elementi iz A imajo različne slike v B. Formalno: če je f(a1) = f(a2) potem a1 = a2.
- Surjektivnost: Če je f surjektivna, je slika f(A) enaka celotni kodni domeni B, torej vsak b ∈ B ima vsaj en prapodatek a z f(a) = b.
- Invertibilnost: Bijekcija ima obvezno obratno funkcijo f−1: B → A, definirano z f−1(b) = edini a tak, da je f(a) = b. Obratna funkcija je prav tako bijektivna.
- Sestavljanje: Sestava dveh bijekcij je spet bijekcija. Če sta f: A→B in g: B→C bijekciji, potem je g∘f bijekcija z obratno funkcijo (g∘f)−1 = f−1∘g−1.
- Kardinalnost: Obstoj bijekcije med množicama A in B pomeni, da imata množici enako moč (kardinalnost). To velja tako za končne kot za neskončne množice.
Kako preveriti, ali je funkcija bijektivna
- Preverite injektivnost: dokažite, da različen vhod povzroči različno sliko (uporabite kontrapozicijo ali neposreden dokaz).
- Preverite surjektivnost: za poljuben b ∈ B poiščite a ∈ A z f(a) = b (lahko z reševanjem enačbe ali konstruktivnim postopkom).
- Pri funkcijah realne spremenljivke uporabite horizontalni test: graf funkcije preseka vsako vodoravno premico največ enkrat ⇔ funkcija je injektivna; če je hkrati slika enakomerno pokrije ciljno množico, je tudi surjektivna.
- Pri končnih množicah: če je |A| = |B|, velja, da je vsaka injekcija A→B tudi surjekcija in obratno; zato je zadoščajoč pogoj preveriti le enega od pogojev.
Primeri
- Enostaven primer (končni množici): f: {1,2,3} → {a,b,c} s preslikavo 1↦a, 2↦b, 3↦c je bijekcija.
- Linearna funkcija na realnih številih: f(x)=ax+b z a≠0 je bijekcija R→R (obratna funkcija je f−1(y) = (y−b)/a).
- Polinom: f(x)=x^3 je bijekcija R→R, medtem ko f(x)=x^2 ni bijekcija R→R (ni injektivna) ampak je bijekcija [0,∞)→[0,∞).
- Modularna preslikava: f: Z_n → Z_n, f(x) = x+1 (mod n) je bijekcija (permutacija ostankov mod n).
- Številna kardinalnost: preslikava g: N → 2N, g(n) = 2n je bijekcija med naravnimi števili in parnimi naravnimi števili, kar kaže, da imata obe množici enako (števno) moč.
- Permutacije: vsaka permutacija množice {1,…,n} je bijekcija na samo sebi; množica vseh permutacij tvori simetrično grupno strukturo S_n.
Opombe in zgodovina
Izraz bijekcija ter sorodna izraza surjekcija in injekcija je uvedel Nicholas Bourbaki. V tridesetih letih 20. stoletja je skupaj s skupino drugih matematikov objavil vrsto knjig o sodobni napredni matematiki in vplival na uveljavitev te terminologije.
Bijekcije so temeljni pojem v teoriji množic, algebraičnih strukturah (npr. izomorfizmi so bijekcije, ki ohranjajo strukturo) in diskretni matematiki (permutačne funkcije, preslikave med množicami podatkov). Razumevanje bijekcij pomaga tudi pri primerjavi velikosti množic, gradnji inverzov funkcij ter pri analizi številnih konstrukcij v matematiki in računalništvu.
Osnovne lastnosti
Uradno:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
je bijektivna funkcija, če ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B}
obstaja edinstven a ∈ A {\displaystyle a\in A}
tak, da f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } 
Element b {\displaystyle b}
se imenuje podoba elementa a {\displaystyle a}
.
- Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B je podoba natanko enega elementa v domeni A.
Element a {\displaystyle a} se imenuje predpodoba elementa b {\displaystyle b} .
- Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B ima natanko eno predpodobo v domeni A.
Opomba: Surjekcija pomeni najmanj eno predsliko. Vbrizgavanje pomeni največ eno predpodobo. Torej bijekcija pomeni natanko eno predpodobo.
Kardinalnost
Kardinalnost je število elementov v množici. Kardinalnost množice A={X,Y,Z,W} je 4. Zapišemo #A=4.
- Opredelitev: Dve množici A in B imata enako kardinalnost, če med njima obstaja bijekcija. Torej #A=#B pomeni, da obstaja bijekcija iz A v B.
Bijekcije in inverzne funkcije
- Bijekcije so inverzne, če obrnemo puščice. Nova funkcija se imenuje inverzna funkcija.
Uradno: Naj bo f : A → B bijekcija. Inverzna funkcija g : B → A je definirana tako, da če f(a)=b, potem g(b)=a. (Glej tudi Inverzna funkcija.)
- Inverzna funkcija inverzne funkcije je prvotna funkcija.
- Funkcija ima inverzno funkcijo, če in samo če je bijekcija.
Opomba: Zapis za obratno funkcijo f je zmeden. Namreč,
f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}
označuje obratno funkcijo funkcije f, x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}
pa označuje recipročno vrednost števila x.
Primeri
Elementarne funkcije
Naj bo f(x):ℝ→ℝ realno ovrednotena funkcija y=f(x) realno ovrednotenega argumenta x. (To pomeni, da sta vhod in izhod števila.)
- Grafični pomen: Funkcija f je bijekcija, če vsaka vodoravna črta seka graf funkcije f v natanko eni točki.
- Algebrski pomen: Funkcija f je bijekcija, če lahko za vsako realno število yo najdemo vsaj eno realno število xo tako, da je yo =f(xo ) in če f(xo )=f(x1 ) pomeni xo =x1 .
Dokazati, da je funkcija bijekcija, pomeni dokazati, da je hkrati surjekcija in injekcija. Zato so formalni dokazi redko enostavni. V nadaljevanju razpravljamo in ne dokazujemo. (Glej surjekcija in injekcija.)
Primer: Linearna funkcija poševne črte je bijekcija. To je y=ax+b, kjer je a≠0 bijekcija.
Razprava: Vsaka vodoravna črta seka poševno črto v natanko eni točki (za dokaze glej surjekcijo in injekcijo). Slika 1.
Primer: Polinomska funkcija tretje stopnje: f(x)=x3 je bijekcija. Slika 2 in slika 5, tanka rumena krivulja. Njena obratna funkcija je funkcija kubičnega korena f(x)= ∛x in je prav tako bijekcija f(x):ℝ→ℝ. Slika 5: debela zelena krivulja.
Primer: Kvadratna funkcija f(x) = x2 ni bijekcija (iz ℝ→ℝ). Slika 3. Ni surjekcija. Ni injekcija. Vendar lahko njeno domeno in kodomeno omejimo na množico nenegativnih števil (0,+∞) in dobimo (inverzno) bijekcijo (glej spodnje primere).
Opomba: Zadnji primer prikazuje to. Če želimo ugotoviti, ali je funkcija bijekcija, moramo vedeti tri stvari:
- domena
- funkcijski stroj
- sorodno področje
Primer: Recimo, da je naša funkcija f(x)=x².
- Ta stroj in domena=ℝ in kodomena=ℝ nista surjekcija in ne injekcija. Vendar,
- ta isti stroj in domena=[0,+∞) in kodomena=[0,+∞) je hkrati surjekcija in injekcija ter tako bijekcija.
Bijekcije in njihove inverzije
Naj bo f(x):A→B, kjer sta A in B podmnožici ℝ.
- Predpostavimo, da f ni bijekcija. Za vsak x, kjer derivat f obstaja in ni enak nič, obstaja okolica x, kjer lahko omejimo domeno in kodomeno f na bisekcijo.
- Grafi inverznih funkcij so simetrični glede na premico y=x. (Glej tudi Inverzna funkcija.)
Primer: Kvadratna funkcija, definirana na omejeni domeni in kodomeni [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )}
opredeljeno s f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 
je bijekcija. Slika 6: tanka rumena krivulja.
Primer: Funkcija kvadratnega korena, definirana na omejeni domeni in kodomeni [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} opredeljeno s f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 
je bijekcija, definirana kot obratna funkcija kvadratne funkcije: x2 . Slika 6: debela zelena krivulja.
Primer: Eksponentna funkcija, definirana na področju ℝ in omejenem področju (0,+∞)
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,\,(0,+\infty )}
definirano s f ( x ) = a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1} 
je bijekcija. Slika 4: tanka rumena krivulja (a=10).
Primer: Logaritemska funkcija baza a je definirana na omejenem področju (0,+∞) in kodnem področju ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\,\mathbf {R} }
opredeljeno s f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1} 
je bijekcija, opredeljena kot obratna funkcija eksponentne funkcije: ax . Slika 4: debela zelena krivulja (a=10).
| Bijekcija: vsaka navpična črta (v domeni) in vsaka vodoravna črta (v sopomeni) seka natanko eno točko grafa. | ||
|
1. Bijekcija. Vse poševne črte so bijekcije f(x):ℝ→ℝ. |
2. Bijekcija. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. |
3. Ni bijekcija. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² ni surjekcija. Ni injekcija. |
|
4. Bijekcije. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (tanko rumena) in njegova obratna funkcija f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10 x (debelo zelena). |
5. Bijekcije. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (tanka rumena) in njena obratna funkcija f(x)=∛x (debela zelena). |
6. Bijekcije. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (tanko rumena) in njegova inverzija f(x)=√x (debela zelena). |
Sorodne strani
- Funkcija (matematika)
- Surjektivna funkcija
- Injektivna funkcija
- Inverzna funkcija
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je bijektivna funkcija?
O: Bjektivna funkcija, znana tudi kot bijekcija, je matematična funkcija, ki je hkrati injekcija in surjekcija.
V: Kaj pomeni, da je funkcija injekcija?
O: Injekcija pomeni, da če je f(a)=f(a') za poljubna dva elementa a in a' v področju A, potem a=a'.
V: Kaj pomeni, da je funkcija surjekcija?
O: Surjekcija pomeni, da za vsak element b v kodni domeni B obstaja vsaj en element a v domeni A, tako da je f(a)=b.
V: Kaj je enakovredna izjava za bijekcijo?
O: Ekvivalentna izjava za bijekcijo pomeni, da za vsak element b v kodni domeni B obstaja natanko en element a v domeni A, tako da je f(a)=b.
V: Kaj je drugo ime za bijekcijo?
O: Bijekcija je znana tudi kot "korespondenca 1-1" ali "korespondenca ena na ena".
V: Kdo je uvedel izraze bijekcija, surjekcija in injekcija?
O: Izraze bijekcija, surjekcija in injekcija so uvedli Nicolas Bourbaki in skupina drugih matematikov v tridesetih letih 20. stoletja.
V: Kaj so Bourbaki in drugi matematiki objavili v tridesetih letih 20. stoletja?
O: Bourbaki in drugi matematiki so objavili vrsto knjig o sodobni napredni matematiki.
Iskati