Injekcijska funkcija (1-1): definicija, lastnosti in primeri
Injekcijska funkcija (1-1): jasna definicija, ključne lastnosti in razumljivi primeri. Naučite se razlikovati injekcijo, surjekcijo in bijekcijo.
V matematiki je injekcijska funkcija f : A → B taka funkcija, da nima dveh različnih elementov domene, ki bi imela isto vrednost v kodomini. Ekvivalentni načini zapisa definicije so:
- Za vsak par a1, a2 ∈ A velja: če f(a1) = f(a2), potem a1 = a2.
- Za vsak element b v kodni domeni B obstaja največ en element a v domeni A, tako da je f(a) = b.
Razlaga in pomen
Injektivnost pomeni, da funkcija razlikuje vse različne vhodne vrednosti: če sta dva vnosa različna, imata tudi različni izhodi. Injektivna funkcija je zato "ena na ena" z vidika preimage—vsaki vrednosti v sliki funkcije pripada natanko en ali pa noben element iz domene.
Zgodovina izraza
Izraz injekcija ter povezana izraza surjekcija in bijekcija je uvedel Nicholas Bourbaki. V tridesetih letih 20. stoletja je skupaj s skupino drugih matematikov objavil vrsto knjig o sodobni napredni matematiki.
Opombe glede terminologije
Injektivno funkcijo pogosto imenujemo funkcija 1-1. Vendar je izraz korespondenca 1-1 običajno uporabljen za bijekcijo (torej funkcijo, ki je istočasno injekcija in surjekcija). Zaradi tega pride do zmede — bodite pozorni na celoten kontekst, ko naletite na izraz "1-1".
Lastnosti injektivnih funkcij
- Leva-inverznost: Funkcija f je injektivna natanko tedaj, ko obstaja funkcija g: B → A takšna, da je g ∘ f = idA (to pomeni g(f(a)) = a za vse a ∈ A). Takšno g se imenuje leva inverzna funkcija.
- Sestavljanje: Če sta f: A → B in g: B → C injektivni, potem je tudi g ∘ f injektivna. Nasprotno, če je g ∘ f injektivna, potem je f injektivna (torej injektivnost kompozita implicira injektivnost prvega člena).
- Restrikcija: Omejitev injektivne funkcije na katerikoli podmnožici domene je še vedno injektivna.
- Kardinalnost: Če obstaja injekcija iz množice A v množico B, zapišemo |A| ≤ |B|. V kombinaciji s kontravarjantno injekcijo (injekcija B → A) vodi Cantor–Schroeder–Bernsteinov izrek do obstoja bijekcije med A in B.
- Horizontalni test (za realne funkcije): Če graf funkcije y = f(x) v ravnini sekajo vodoravne črte največ enkrat, je funkcija injektivna. To je uporaben vizualni test za funkcije R → R.
Kako preveriti injektivnost
- Uporabite definicijo: pokažite, da iz f(x1) = f(x2) sledi x1 = x2.
- Pri realnih zveznih funkcijah je koristen horizontalni test.
- Za elementarne analitične funkcije uporabite monotoničnost: strogo naraščajoča ali strogo padajoča funkcija na intervalu je injektivna.
- Pri preslikavah med končnimi množicami preverite, ali so slike vseh različnih elementov različne (ali primerjajte število elementov).
Primeri
- Injektivno: f: R → R, f(x) = 2x. Če 2x1 = 2x2, sledi x1 = x2.
- Ne-injektivno: f: R → R, f(x) = x^2. Imata x = 1 in x = −1 isti obraz: f(1) = f(−1) = 1. Če omejimo domeno na [0, ∞), postane injektivna.
- Injektivno (na celih številih): f: Z → Z, f(n) = n + 1. Vsako celo število ima natanko en preimage.
- Ne-injektivno (modularna preslikava): f: Z → Z_n, f(k) = k mod n ni injektivna, ker mnogi različni k dajo isto ostanek.
- Primer med končnimi množicami: f: {1,2,3} → {a,b,c,d} z f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c je injektivna (vendar ne surjektivna).
Kratek dokaz: injektivnost ⇒ obstoj leve inverzne
Naj bo f: A → B injektivna. Za vsak b ∈ B definiramo g(b) ∈ A tako:
- če obstaja a s f(a) = b, potem iz injektivnosti vemo, da je ta a enoličen — izberemo ga in postavimo g(b) = a;
- če takšnega a ni (tj. b ni v sliki f), izberemo poljuben fiksni element a0 ∈ A in postavimo g(b) = a0.
Po konstrukciji velja za vse a ∈ A, g(f(a)) = a, torej g ∘ f = idA.
Povezava z drugimi tipom preslikav
Injekcija je ena od treh osnovnih vrst preslikav, skupaj z surjekcijo (na) in bijekcijo (ena-na-ena in na). Bijekcija je hkrati injektivna in surjektivna ter ima povsem obrnljivo funkcijo (obratno preslikavo) definirano na celotni kodomini.
Če želite, lahko članek razširim z dodatnimi primeri, slikami grafa funkcij ali z nalogami za vajo (s ključem odgovorov).
Osnovne lastnosti
Uradno:
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B}
je injekcijska funkcija, če ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\desna puščica \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}
ali enakovredno
f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je injekcijska funkcija, če ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \za vse a_{1},\,a_{2},\v A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Prava puščica \,\,a_{1}=a_{2}} 
Element a {\displaystyle a}
se imenuje predpodoba elementa b {\displaystyle b}
, če f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}
. Injekcije imajo za vsak element b v B eno ali nobeno predpodobo.
Kardinalnost
Kardinalnost je število elementov v množici. Kardinalnost množice A={X,Y,Z,W} je 4. Zapišemo #A=4.
- Če je kardinalnost kodne domene manjša od kardinalnosti domene, funkcija ne more biti injekcija. (Na primer, 6 elementov ni mogoče preslikati na 5 elementov brez podvajanja.)
Primeri
Elementarne funkcije
Naj bo f(x):ℝ→ℝ realno vrednotena funkcija y=f(x) realno vrednotenega argumenta x. (To pomeni, da sta tako vhod kot izhod realna števila.)
- Grafični pomen: Funkcija f je injekcija, če vsaka vodoravna črta seka graf funkcije f v največ eni točki.
- Algebrski pomen: Funkcija f je injekcija, če f(xo )=f(x1 ) pomeni xo =x1 .
Primer: Linearna funkcija poševne črte je 1-1. To pomeni y=ax+b, kjer je a≠0 injekcija. (Je tudi surjekcija in s tem bijekcija.)
Dokaz: Naj bosta xo in x1 realni števili. Predpostavimo, da premica prikazuje ti dve vrednosti x na isto vrednost y. To pomeni a-xo +b=a-x1 +b. Od obeh strani odštejemo b. Dobimo a-xo =a-x1 . Obe stranici zdaj delimo z a (ne pozabite a≠0). Dobimo xo =x1 . Tako smo dokazali formalno definicijo in funkcijo y=ax+b, kjer je a≠0 injekcija.
Primer: Polinomska funkcija tretje stopnje: f(x)=x3 je injekcija. Polinomska funkcija tretje stopnje: f(x)=x3 -3x pa ni injekcija.
Razprava 1: Vsaka vodoravna črta seka graf
f(x)=x3 natanko enkrat. (Prav tako je to surjekcija.)
Razprava 2. Vsaka vodoravna črta med y=-2 in y=2 seka graf v treh točkah, zato ta funkcija ni injekcija. (Je pa surjekcija.)
Primer: Kvadratna funkcija f(x) = x2 ni injekcija.
Razprava: Vsaka vodoravna premica y=c, kjer je c>0, seka graf v dveh točkah. Torej ta funkcija ni injekcija. (Prav tako ni surjekcija.)
Opomba: Neinjektivno funkcijo lahko spremenimo v injektivno funkcijo tako, da odstranimo del domene. To imenujemo omejevanje domene. Na primer, domeno f(x)=x² omejimo na nenegativna števila (pozitivna števila in nič). Definiramo
f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }
kjer f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}} 
Ta funkcija je zdaj injekcija. (Glej tudi omejitev funkcije.)
Primer: Eksponentna funkcija f(x) = 10x je injekcija. (Vendar ni surjekcija.)
Razprava: Vsaka vodoravna črta seka graf v največ eni točki. Vodoravne premice y=c, kjer je c>0, ga sekajo v natanko eni točki. Vodoravni premici y=c, kjer je c≤0, ne sekajo grafa v nobeni točki.
Opomba: Dejstvo, da je eksponentna funkcija injektivna, lahko uporabimo pri izračunih.
a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} 
Primer: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5} 
| Vbrizgavanje: nobena vodoravna črta ne seka več kot ene točke grafa | ||
|
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (in surjekcija) |
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (in surjekcija) |
Ni injekcija. f(x):ℝ→ℝ (je surjekcija) |
|
Ni injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ni surjekcija) |
Injekcija. f(x):ℝ→ℝ (ne surjekcija) |
Injekcija. f(x):(0,+∞)→ℝ (in surjekcija) |
Drugi primeri
Primer: logaritemska funkcija baze 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, definirana s f(x)=log(x) ali y=log10 (x), je injekcija (in surjekcija). (To je obratna funkcija 10x .)
Primer: Funkcija f:ℕ→ℕ, ki preslika vsako naravno število n na 2n, je injekcija. Vsako sodo število ima natanko eno predpodobo. Vsako liho število nima predpodobe.
Sorodne strani
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je injekcijska funkcija v matematiki?
O: Injektivna funkcija je funkcija f: A → B, ki ima lastnost, da se različni elementi v domeni preslikajo na različne elemente v kodomeni.
V: Kakšno je razmerje med elementi v domeni in kodomeni injekcijske funkcije?
O: Za vsak element b v kodni domeni B obstaja največ en element a v domeni A, tako da je f(a)=b.
V: Kdo je uvedel izraze injekcija, surjekcija in bijekcija?
O: Nicholas Bourbaki in skupina drugih matematikov so uvedli izraze injekcija, surjekcija in bijekcija.
V: Kaj pomeni injekcijska funkcija?
O: Injektivna funkcija pomeni, da se vsak element v področju A preslika na edinstven element v kodnem področju B.
V: Kako se injekcijska funkcija razlikuje od korespondence 1-1?
O: Injektivna funkcija se pogosto imenuje funkcija 1-1 (ena proti ena), vendar se razlikuje od korespondence 1-1, ki je bijektivna funkcija (hkrati injektivna in surjektivna).
V: Kaj je lastnost injekcijske funkcije?
O: Lastnost injekcijske funkcije je, da se različni elementi v domeni preslikajo v različne elemente v kodi.
V: Kakšen je pomen injekcijskih funkcij v matematiki?
O: Injektivne funkcije imajo pomembno vlogo na številnih matematičnih področjih, vključno s topologijo, analizo in algebro, zaradi svoje lastnosti, da se različni elementi v domeni preslikajo na različne elemente v kodni domeni.
Iskati