Surjektivna preslikava

V matematiki je surjektivna ali onto funkcija funkcija f : A → B z naslednjo lastnostjo. Za vsak element b v kodni domeni B obstaja vsaj en element a v domeni A, tako da je f(a)=b. To pomeni, da sta področje in kodno področje funkcije f ista množica.

Izraz surjekcija ter sorodna izraza injekcija in bijekcija je uvedla skupina matematikov, ki se je imenovala Nicholas Bourbaki. Ta skupina matematikov je v tridesetih letih prejšnjega stoletja izdala vrsto knjig o sodobni napredni matematiki. Francoska predpona sur pomeni nad ali na in je bila izbrana, ker surjektivna funkcija prikazuje svojo domeno na svojo kodno domeno.

Osnovne lastnosti

Uradno:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} je $f:A\rightarrow B$ surjektivna funkcija, če ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\exists a\in A} tako $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ , da f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Element b {\displaystyle b} $b$ imenujemo slika elementa a {\displaystyle a} .

Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B je podoba vsaj enega elementa v domeni A.

Element a {\displaystyle a} se imenuje predpodoba elementa b {\displaystyle b} $b$ .

Formalna opredelitev pomeni: Vsak element kodne domene B ima vsaj eno predpodobo v domeni A.

Ni nujno, da je predslika edinstvena. Na zgornji sliki sta tako {X} kot {Y} predpodobi elementa {1}. Pomembno je le, da obstaja vsaj ena predpodoba. (Glej tudi: injektivna funkcija, bijektivna funkcija)

Primeri

Elementarne funkcije

Naj bo f(x):ℝ→ℝ realno ovrednotena funkcija y=f(x) realno ovrednotenega argumenta x. (To pomeni, da sta vhod in izhod števila.)

Grafični pomen: Funkcija f je surjekcija, če vsaka vodoravna črta seka graf funkcije f v vsaj eni točki.
Analitični pomen: Za vsako realno število y_o lahko najdemo vsaj eno realno število x _otako, da je y=f_o(x_o).

Iskanje predpodobe x_o za dani y_o je enakovredno obema vprašanjema:

Ali ima enačba f(x)-y=0_o rešitev? ali
Ali ima funkcija f(x)-y_o koren?

V matematiki lahko najdemo natančne (analitične) korenine samo polinomov prve, druge (in tretje) stopnje. Korene vseh drugih funkcij najdemo približno (numerično). To pomeni, da je formalni dokaz surjektivnosti le redko neposreden. Zato so spodnje razprave neformalne.

Primer: Linearna funkcija poševne črte je onto. To pomeni: y=ax+b, kjer je a≠0 surjekcija. (Je tudi injekcija in s tem bijekcija.)

Dokaz: Ker je a≠0, dobimo x= (y-b_oo)/_a. To pomeni, da je x=_o(y-b_o)/_a predpodoba y_o. To dokazuje, da je funkcija y=ax+b, kjer je a≠0, surjekcija. (Ker obstaja natanko en predpodobni prikaz, je tudi ta funkcija injekcija.)

Praktični primer: y= -2x+4. Katera je predpodoba y=2? Rešitev: a= -2, torej a≠0 in vprašanje je: Za kateri x je y=2? V funkcijo vstavimo y=2. Dobimo x=1, tj. y(1)=2. Torej je odgovor: x=1 je predpodobo y=2.

Primer: kubični polinom (tretje stopnje) f(x)=x-3x³ je surjekcija.

Razprava: Kubična enačba x-3x-y=0³_o ima realne koeficiente (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Vsaka taka kubična enačba ima vsaj en realni koren. Ker je področje polinoma ℝ, to pomeni, da je v tem področju vsaj en predpomnik x_o. To pomeni, da je (x₀)³-3x-y=0_0o. Torej je funkcija surjekcija. (Vendar pa ta funkcija ni injekcija. Na primer, y=2_o ima dve predpodobi: x=-1 in x=2. Pravzaprav ima vsak y, -2≤y≤2 vsaj 2 predpodobi.)

Primer: Kvadratna funkcija f(x) = x² ni surjekcija. Ne obstaja x, ki bi bil x ²= -1. Območje x² je [0,+∞) , to je množica nenegativnih števil. (Tudi ta funkcija ni injekcija.)

Opomba: Nesurjektivno funkcijo lahko spremenimo v surjekcijo tako, da omejimo njeno področje na elemente njenega območja. Na primer, nova funkcija f_N(x):ℝ → [0,+∞), kjer je f_N(x) = x², je surjektivna funkcija. (To ni isto kot omejitev funkcije, ki omejuje domeno!)

Primer: Eksponentna funkcija f(x) = 10^x ni surjekcija. Območje je 10^x(0,+∞), to je množica pozitivnih števil. (Ta funkcija je injekcija.)

Preslikava. f(x):ℝ→ℝ (in injekcija)

Preslikava. f(x):ℝ→ℝ (ni preslikava)

Ni surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (niti injekcija)

Ni surjekcija. f(x):ℝ→ℝ (vendar je injekcija)

Preslikava. f(x):(0,+∞)→ℝ (in preslikava)

Preslikava. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Na sliki je razvidno, da je predpodoba z=2 premica y=2.)

Drugi primeri s funkcijami z realno vrednostjo

Primer: logaritemska funkcija baze 10 f(x):(0,+∞)→ℝ, definirana s f(x)=log(x) ali y=log₁₀(x), je surjekcija (in injekcija). (To je obratna funkcija 10^x.)

Projekcija kartezičnega produkta A × B na enega od njegovih faktorjev je surjekcija.

Primer: Funkcija f((x,y)):ℝ²→ℝ, definirana z z=y, je surjekcija. Njen graf je ravnina v trirazsežnem prostoru. Predpodoba z_o je premica y=z_o v ravnini xy. 0

V 3D igrah se tridimenzionalni prostor projicira na dvodimenzionalni zaslon s pomočjo projekcije.

Sorodne strani

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je surjektivna funkcija v matematiki?

O: Surjektivna funkcija v matematiki je funkcija f: A → B, ki ima lastnost, da za vsak element b v kodomeni B obstaja vsaj en element a v domeni A, tako da je f(a)=b.

V: Kakšen je pomen surjektivne funkcije v matematiki?

O: Surjektivna funkcija zagotavlja, da noben element v kodni domeni ni neoznačen ter da sta območje in kodna domena f ista množica.

V: Kakšen je izvor izraza surjekcija?

O: Izraz surjekcija je uvedla skupina matematikov, imenovana Nicholas Bourbaki.

V: Kakšen je pomen francoske predpone sur v besedi surjektivni?

O: Francoska predpona sur pomeni nad ali na.

V: Zakaj je bil za to vrsto funkcije izbran izraz surjektivna?

O: Izraz surjektivna je bil za to vrsto funkcije izbran zato, ker surjektivna funkcija preslika svojo domeno na svojo kodomeno.

V: Kdo je v tridesetih letih 20. stoletja izdal serijo knjig o sodobni napredni matematiki?

O: Skupina matematikov, imenovana Nicholas Bourbaki, je v tridesetih letih 20. stoletja izdala vrsto knjig o sodobni napredni matematiki.

V: Kaj sta v matematiki injekcija in bijekcija?

O: Injekcija in bijekcija sta izraza, ki sta v matematiki povezana s surjekcijo. Injekcijska funkcija zagotavlja, da noben element v domeni ni preslikan na isti element v kodni domeni. Funkcija bijekcije je hkrati surjektivna in injektivna.