V matematiki je konstantna funkcija funkcija, katere izhodna vrednost je enaka za vsako vhodno vrednost. Na primer, funkcija y ( x ) = 4 {\displaystyle y(x)=4}
je konstantna funkcija, ker je vrednost y ( x ) {\displaystyle y(x)} 
4 ne glede na vhodno vrednost x {\displaystyle x}
(glej sliko).
Definicija
Formalen zapis konstantne funkcije: funkcija f z domeno X in kodomeno Y je konstantna, če obstaja element c iz Y tak, da velja
f(x) = c za vse x ∈ X.
V praksi to pomeni, da ne glede na izbiro vhodne vrednosti x dobimo vedno isto izhodno vrednost c.
Lastnosti
- Graf: graf konstantne funkcije f(x)=c v ravnini je vodoravna premica y = c.
- Kontinuiteta: konstanta je zvezna na celotni domeni (če sta domena in kodomena podprti z običajnimi topologijami).
- Odvedek: če je funkcija realno diferencirana, je njena odvodnica enaka 0 povsod: f'(x) = 0 za vse x.
- Integral: nedoločen integral je linearna funkcija z naklonom c: ∫ c dx = c x + C.
- Monotoničnost: konstantna funkcija je hkrati naraščajoča (ne padajoča) in padajoča (ne naraščajoča).
- Injektivnost in surjektivnost: konstantna funkcija ni injektivna, razen če je domena enoelementna; njena slika je enoelementna množica {c}, torej je surjektivna le, če je kodomena enaka {c} ali vsebuje samo c kot pomembno vrednost.
- Konveksnost: konstanta je hkrati konveksna in konkavna.
- Lipschitz lastnost: konstantna funkcija je Lipschitz s konstantno vrednostjo L = 0 (razlika vrednosti med poljubnima točkama je vedno 0).
- Sestavljanje: sestava poljubne funkcije z konstanto daje konstantno funkcijo (če g: Z → X in f: X → Y je f konstantna, potem f ∘ g je konstantna).
Primeri
- Funkcija y(x) = 4 (kot v uvodnem primeru) — graf je premica y = 4. Odvod: y'(x) = 0; Integral: ∫4 dx = 4x + C.
- Funkcija f(x) = 0 (ničelna funkcija) — pogosto uporabljena kot primer in kot ničelni element v množenju funkcij.
- Diskretni primer: zaporedje a_n = 5 za vse n ∈ ℕ je konstanta v smislu funkcije na množici naravnih števil.
- V programiranju: funkcija, ki vedno vrne isti rezultat ne glede na vhod (npr. def f(...): return 42).
- Poseben primer v linearnih funkcijah: konstanta je afina funkcija z naklonom 0 — torej posebna linearna funkcija brez spremembe glede na x.
Opombe in uporabe
- V analizi so konstantne funkcije pogosto uporabljene kot preprosti testni primeri (npr. preverjanje pravilnosti algoritmov za odvajanje ali integracijo).
- V teoriji funkcij so pomembne zaradi svojih ekstremnih, trivialnih lastnosti (npr. najlažje možne oblike zveznosti, monotoničnosti in integrabilnosti).
- V statistiki in modeliranju konstantna funkcija predstavlja model brez odvisnosti od vhodnih spremenljivk — uporabna kot osnovna primerjava (baseline).
