Konveksni regularni 4‑politop (polihoron): definicija, Schläfli in vrste

Konveksni regularni 4‑politop (polihoron): definicija, Schläfli, vrste — spoznajte šest pravilnih 4D-polihoronov, njihove Schläfli simbole in ključne geometrijske lastnosti.

Avtor: Leandro Alegsa

13-12-2025 03:49

V matematiki je konveksni regularni 4-politop (ali polihoron) štirirazsežni (4D) politop, ki je hkrati regularen in konveksen. To so štiridimenzionalni analogi platonskih teles (v treh dimenzijah) in pravilnih mnogokotnikov (v dveh dimenzijah). Schläfli jih je v 19. stoletju preučeval kot najbolj simetrične možne štirirazsežne politope.

Definicija in Schläfli-jeva notacija

Pravilen 4‑politop je tak, da deluje transitivno na svojih elementih (vrhih, robovih, ploskvah in celicah) glede na njegove simetrije. Konveksnost pomeni, da je politop omejen in da vsak izmed njegovih notranjih kotov leži v notranjosti množice.

Regularne 4‑politope se pogosto opisuje s Schläfli-jevo notacijo {p,q,r}. Ta simbol pomeni:

vsaka tridimenzionalna celica je pravilno polihedron {p,q},
okoli vsakega vrha je vidna figura {q,r} (vertex figure),
parameter r določa, koliko celic se sreča ob vsakem robu (v 4D se ob robu sestavi veriga celic okoli njega).

Lastnosti mejne (sferične) strukture

Meja (boundary) konveksnega 4‑politopa je trirazsežna sfera S^3 in zato zadošča Euler–Poincaréjevi relaciji za 3‑sfere:

V − E + F − C = 0

kjer so V, E, F in C števila vrhov, robov, dvo‑dimenzionalnih ploskev (faces) in tridimenzionalnih celic.

Šest konveksnih regularnih 4‑politopov

Ludwig Schläfli je dokazal, da obstaja natanko šest konveksnih regularnih 4‑politopov. Pet izmed njih so višje dimenzionalne analoge platonskih teles; ena figura (24‑celica) pa nima tridimenzionalnega ekvivalenta. Spodaj so osnovne lastnosti vsakega.

5‑celica (4‑simpleks) — Schläfli {3,3,3}: celice so 5 tetraedrov.
- V = 5, E = 10, F = 10, C = 5
- samodualen (self‑dual)
8‑celica (tesserakt, hiperkocka) — Schläfli {4,3,3}: celice so kocke.
- V = 16, E = 32, F = 24, C = 8
- dualna parična z 16‑celico
16‑celica (hiperoctaedron) — Schläfli {3,3,4}: celice so tetraedri.
- V = 8, E = 24, F = 32, C = 16
- dualna tesseraktu (8‑celici)
24‑celica (icositetrachoron) — Schläfli {3,4,3}: celice so oktaedri.
- V = 24, E = 96, F = 96, C = 24
- poseben primer: nima 3D platonskega predhodnika in je samodualen
120‑celica — Schläfli {5,3,3}: celice so dodekaedri.
- V = 600, E = 1200, F = 720, C = 120
- dualna 600‑celici
600‑celica — Schläfli {3,3,5}: celice so tetraedri.
- V = 120, E = 720, F = 1200, C = 600
- dualna 120‑celici

Dualnost in simetrije

Pravilni 4‑politope se združujejo v dualne pare: 5‑celica je samodualna, 8‑celica (tesserakt) je dualna 16‑celici, 120‑celica je dualna 600‑celici, medtem ko je 24‑celica samodualna. Dualnost zamenjuje številske količine: število celic v enem polipotu je število vrhov v njegovem dualu itd.

Vizualizacija in preseki

Ker ne moremo neposredno zaznavati 4D, se pogosto uporabljajo tri tehnike za predstavo teh objektov:

projekcije v 3D (analogno projekcijam poliedrov v ravnino),
prerezne strukture in stereografske projekcije na S^3,
uporaba koordinatnih modelov (npr. točke v R^4 z visoko simetrijo), ki omogočijo računalniško risanje mrež in grafov robov.

Pomen in aplikacije

Konveksni regularni 4‑politope so pomembni v teoriji grup (Coxeterjeve grupe in simetrije), v topologiji (sferične 3‑mreže) in v matematičnem modeliranju. Poleg čiste teorije služijo kot inspiracija pri študiju višjih dimenzij in v nekaterih vizualizacijah v računalniški grafiki.

Te politope je sredi 19. stoletja prvič opisal švicarski matematik Ludwig Schläfli. Schläfli je ugotovil, da obstaja natanko šest takšnih likov. Pet od teh si lahko predstavljamo kot višje dimenzionalne analogije platonskih teles. Obstaja še ena figura (24-celica), ki nima tridimenzionalnega ekvivalenta.

Vsak konveksni pravilen 4-politop je omejen z množico tridimenzionalnih celic, ki so vsa platonska telesa iste vrste in velikosti. Te celice so vzdolž svojih površin pravilno prilegajoče se.

Lastnosti

V naslednjih tabelah so navedene nekatere lastnosti šestih konveksnih pravilnih polihorov. Simetrijske grupe teh poliedrov so vse Coxeterjeve grupe in so podane v zapisu, opisanem v tem članku. Številka, ki sledi imenu grupe, je red grupe.

Imena	Družina	Schläfli simbol	Vrhovi	Robovi	Obrazi	Celice	Številke vrhov	Dvojni politop	Skupina simetrije
Pentahoron5-celicapentatophiperpiramidahipertetraeder4-simpleks	simpleks (n-simpleks)	{3,3,3}	5	10	10 trikotniki	5 tetraedri	tetraedri	(samodvojno)	A₄	120
Teseraktoktahoron8-celicahiperkuba4-kuba	hiperkocka (n-kocka)	{4,3,3}	16	32	24 kvadrati	8 kocke	tetraedri	16 celic	B₄	384
Heksadekahoron16-celični ortoplekshiperoktaeder4-ortopleks	navzkrižni politop ( n-ortopleks)	{3,3,4}	8	24	32 trikotniki	16 tetraedri	oktaedri	teserakt	B₄	384
Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron		{3,4,3}	24	96	96 trikotniki	24 oktaedri	kocke	(samodvojno)	F₄	1152
Hecatonicosachoron120-celičnildodekaplekshiperdodekaederpoliedodekaeder		{5,3,3}	600	1200	720 peterokotniki	120 dodekaedri	tetraedri	600-celični	H₄	14400
Heksakosičoron600-celičnitetraplekshiperikozaedripolitetraedri		{3,3,5}	120	720	1200 trikotniki	600 tetraedri	ikozaedri	120-celica	H₄	14400

Ker so meje vsakega od teh likov topološko enakovredne 3-sferi, katere Eulerjeva karakteristika je enaka nič, dobimo 4-dimenzionalni analog Eulerjeve poliedrične formule:

N0 - N +1 N 2- N = 3{\displaystyle0 N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,} $N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

kjer N_k označuje število k-obrazov v politopu (vrh je 0-obraz, rob je 1-obraz itd.).

Vizualizacije

Naslednja tabela prikazuje nekaj dvodimenzionalnih projekcij teh politopov. Različne druge vizualizacije so na voljo na drugih spletnih straneh spodaj. Pod Schläflijevim simbolom so podani tudi grafi Coxeter-Dynkinovih diagramov.

5-celični	8 celic	16 celic	24-celični	120-celica	600-celični
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}

Ortografske projekcije žičnega okvirja znotraj poligonov Petrie.

Trdne ortografske projekcije
tetraedrična ovojnica (celično/vertikalno centrirana)	kubična ovojnica (osredotočena na celice)	oktaedrična ovojnica (s centriranim vrhom)	kubokoktaedrska ovojnica (celično centrirana)	skrajšana rombična ovojnica ( celično centrirana)	Pentakisova ikozidodekaedrska ovojnica (vrhovno centrirana)
Schleglovi diagrami (Perspektivna projekcija)
(Osredotočeno na celice)	(Osredotočeno na celice)	(Osredotočeno na celice)	(Osredotočeno na celice)	(Osredotočeno na celice)	(osredotočeno na vrhove)
Stereografske projekcije (hipersferične)

Sorodne strani

Pravilni politop
Platonska trdna snov

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je konveksni pravilen 4-politop?

O: Konveksni regularni 4-politop je štiridimenzionalni politop, ki je hkrati regularen in konveksen.

V: Kateri so analogi konveksnih pravilnih 4-politopov v treh in dveh dimenzijah?

O: Analogi konveksnih pravilnih 4-politopov v treh razsežnostih so platonska telesa, v dveh razsežnostih pa so to pravilni mnogokotniki.

V: Kdo je prvi opisal konveksne pravilne štiripolitope?

O: Švicarski matematik Ludwig Schläfli je sredi 19. stoletja prvi opisal konveksne pravilne 4-politope.

V: Koliko je konveksnih pravilnih 4-politopov?

O: Konveksnih pravilnih 4-politopov je natanko šest.

V: Kaj je edinstvena značilnost 24-celičnega politopa med konveksnimi pravilnimi 4-politopi?

O: 24-celični politop nima tridimenzionalnega ekvivalenta med konveksnimi pravilnimi 4-politopi.

V: Katere so tridimenzionalne celice, ki omejujejo vsak konveksni pravilni 4-politop?

O: Vsak konveksni pravilni 4-politop je omejen z množico tridimenzionalnih celic, ki so vsa platonska telesa iste vrste in velikosti.

V: Kako so tridimenzionalne celice povezane v konveksnem pravilnem 4-politopu?

O: V konveksnem pravilnem 4-politopu so tridimenzionalne celice vzdolž svojih ustreznih površin nameščene skupaj na pravilen način.

Iskati