Algebrska rešitev je izraz, sestavljen iz koeficientov enačbe in končne sestave osnovnih racionalnih računskih operacij ter izvlečkov korenov, ki daje rešitev algebrske enačbe. Natančneje, algebrsko rešitev dobimo z uporabo le seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in izvlečkov korenov (radikalov — kvadratni, kubični itd.), vključno z njihovo morebitno gnezditvijo (vloženi radikali).
Primer: kvadratna enačba
Najbolj znan primer algebrske rešitve je splošna kvadratna enačba. Njena rešitev je dana s kvadratno formulo:
x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},} 
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 
(kjer je a ≠ 0). V izrazu nastopa diskriminanta b2 − 4ac, ki določa število in vrsto korenov (realni in različni, dvojni ali kompleksni). Kvadratna formula je tipičen primer rešitve z radikali.
Kubična, kvartična in višje stopnje
Za splošno kubično in kvartično enačbo obstajajo tudi algebrske formule, vendar so bistveno bolj zapletene: kubično rešitev je prvo dobil Cardano (Cardanova formula), za kvartično pa je znano Ferrarijevo opravilo. Te rešitve zahtevajo gnezdene radikale in posebne substitucije.
Abel–Ruffini izrek
Abel–Ruffini izrek (po Nielsu Henriku Abelu in Paolu Ruffiniju) pravi, da splošna polinomska enačba stopnje n ≥ 5 nima algebrske rešitve, torej rešitve z izrazi, sestavljenimi le iz končne zaporedne uporabe seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja in izvlečkov korenov. To ne pomeni, da posamezne kvintne (ali višje) enačbe nikoli niso rešljive z radikali — nekateri posebni primeri so rešljivi — ampak da ne obstaja ena splošna formula v radikalih, ki bi za vsak polinom stopnje ≥ 5 dala njegove korene.
Razlaga in moderni dokaz izreka sta povezana z Galoisovo teorijo: polinom je rešljiv z radikali natanko tedaj, ko je njegova Galoisova grupa "rešljiva" (solvable). To povezuje vprašanje o rešitvah v radikalih z lastnostmi simetrij korenov polinoma.
Izjeme in praktične opombe
- Nekateri polinomi stopnje ≥ 5 so kljub splošnemu izreku rešljivi z radikali (npr. potenčne enačbe x 10 = a {\displaystyle x^{10}=a}
), ker imajo posebno strukturo koeficientov ali posebne simetrije. - Za primer potenčne enačbe velja enostavna algebrska rešitev x = a 1 / 10 . {\displaystyle x=a^{1/10}. }
— pri tem je treba upoštevati, da ima enačba v kompleksnih številih deset različnih korenov, ki jih dobimo tako, da izberemo vse desetih vrednosti a1/10 (pomnožene s ustreznimi enotskimi ničlami, to je z dekadnimi koreni enote). - V praksi se za reševanje polinomov pogosto uporabljajo numerične metode (Newton-Raphson, Durand–Kerner, Jenkins–Traub) ali simbolni računalni sistemi, ki kombinirajo radikale, transcedentne funkcije in aproximacije, kadar algebrska formula ali radikali niso uporabni ali so preveč zapleteni.
Povzetek
Algebrska rešitev pomeni izraz v radikalih, sestavljen iz osnovnih računskih operacij in izvlečkov korenov. Kvadratna, kubična in kvartična enačba imajo znane (čeprav pri kubični in kvartični zapletene) algebrske rešitve. Abel–Ruffini izrek pa zagotavlja, da ni splošne rešitve v radikalih za polinome splošne oblike stopnje ≥ 5; za odločanje o tem, ali je posamezen polinom rešljiv z radikali, pa je ključna njegova Galoisova grupa.