Fermatovo praštevilo
Fermatovo število je posebno pozitivno število. Fermatova števila so poimenovana po Pierru de Fermatu. Formula, ki jih generira, je
F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}}+1} 
kjer je n nenegativno celo število. Prvih devet Fermatovih števil je (zaporedje A000215 v OEIS):
F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321
Do leta 2007 je bilo v celoti razloženih le prvih 12 Fermatovih števil. Te faktorizacije so na voljo na spletni strani Prime Factors of Fermat Numbers.
Če je 2n + 1 praštevilo in je n > 0, lahko dokažemo, da mora biti n moč dveh. Vsako praštevilo v obliki 2n + 1 je Fermatovo število in takšna praštevilska števila imenujemo Fermatova praštevilska števila. Edina znana Fermatova praštevilska števila so F0,...,F4.
Zanimivosti o Fermatovih številih
- Dve Fermatovi števili nimata skupnih deliteljev.
- Fermatova števila lahko izračunamo rekurzivno: Če želite dobiti N-to število, pomnožite vsa Fermatova števila pred njim in rezultatu prištejte dva.
Za kaj se uporabljajo
Danes lahko Fermatova števila uporabimo za generiranje naključnih števil med 0 in neko vrednostjo N, ki je moč 2.
Fermatova domneva
Ko je Fermat preučeval ta števila, je domneval, da so vsa Fermatova števila praštevilska. Leonhard Euler, ki je leta 1732 faktoriziral F 5 {\displaystyle F_{5}}
, je dokazal, da se je motil.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Fermatovo število?
O: Fermatovo število je posebno pozitivno število, poimenovano po Pierru de Fermatu. Nastane po formuli F_n = 2^2^(n) + 1, kjer je n nenegativno celo število.
V: Koliko je Fermatovih števil?
O: Do leta 2007 je bilo v celoti razloženih le prvih 12 Fermatovih števil.
V: Katerih je prvih devet Fermatovih števil?
A: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), in F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321).
V: Kaj lahko rečemo o praštevilkah v obliki 2n + 1?
O: Če je 2n + 1 praštevilo in je n > 0, potem lahko dokažemo, da mora biti n množica dveh. Vsako praštevilo v obliki 2n + 1 je tudi Fermatovo število in taka praštevilska števila imenujemo Fermatova praštevilska števila. Edina znana Fermatova praštevilska števila so od 0 do 4.
V: Kje lahko najdemo faktorizacije za vseh 12 znanih faktoriranih Fermatovih števil?
O: Faktorizacije za vseh 12 znanih faktoriranih Fermatovih števil lahko najdete na naslovu Prime Factors of Fermat Numbers.
V: Kdo je bil Pierre de Fermaat?
O: Pierre de Fermaat je bil vpliven francoski matematik, ki je živel v 17. stoletju in je s svojim delom postavil temelje sodobne matematike. Najbolj znan je po svojih prispevkih k teoriji verjetnosti in analitični geometriji ter po svojem slavnem zadnjem stavku, ki je ostal nerešen vse do leta 1995, ko ga je Andrew Wiles z uporabo metod algebrske geometrije končno dokazal.
