Gama funkcija (Γ): definicija, lastnosti in uporabe

V matematiki je funkcija gama (Γ(z)) razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila. Za pozitivna cela števila je definirana kot Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Funkcija gama je definirana za vsa kompleksna števila. Ni pa definirana za negativna cela števila in ničlo. Za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število, je funkcija definirana z:

Definicija in osnovna integralna predstavitev

Za kompleksno število z realnim delom Re(z) > 0 je ena osnovnih definicij:

Γ(z) = ∫₀^∞ t^z−1 e^−t dt.

Ta integral konvergira za Re(z) > 0 in prek nje izpeljemo nadaljnje lastnosti ter s pomočjo analitične kontinuitete razširimo definicijo na vse kompleksne številčnice, razen na negativna cela števila in ničlo, kjer ima gama funkcija enostavne pole.

Recurrence (rekurzijska) relacija

Pomembno lastnost predstavlja rekurzija:

Γ(z+1) = z · Γ(z).

Iz tega sledi zveza z faktorialom: za pozitivno celo n je Γ(n) = (n−1)!. Na primer Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2 itd.

Analitična kontinuiteta in polni nabor lastnosti

Meromorfnost: Γ(z) je meromorfna funkcija na celotni kompleksni ravnini z enostavnimi poli v z = 0, −1, −2, ... .
Residui: residue pri polih z = −n (n = 0, 1, 2, ...) je mogoče izraziti kot Res(Γ, −n) = (−1)ⁿ / n!.
Refleksijska formula (Euler): Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z). Ta formula pove vrednosti funkcije na nasprotnem mestu okoli 1/2 in omogoča izračun vrednosti za negativne dele realne osi (prek kontinuitete).
Duplikacijska (Legendreova) formula: Γ(z) Γ(z+1/2) = 2^1−2z √π Γ(2z).
Produktna predstavitev (Weierstrass/Euler): ena od oblik je 1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_n=1^∞ (1 + z/n) e^−z/n, kjer je γ Eulerjevo konstanto.

Posebne vrednosti in približki

Γ(1) = 1.
Γ(1/2) = √π, zato Γ(3/2) = (1/2) Γ(1/2) = √π / 2.
Stirlingova aproksimacija za velike |z| (na reši realni osi ali v ustreznih konicah): Γ(z+1) ≈ √(2π z) (z/e)^z, kar je uporabno za ocene in numerične aproksimacije.

Povezava z beta funkcijo in drugimi specialnimi funkcijami

Beta funkcija B(x,y) je povezana z gama funkcijo po identiteti:

B(x,y) = ∫₀¹ t^x−1 (1−t)^y−1 dt = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y).

Gama funkcija se pojavlja tudi v formulah za Besselove funkcije, hipergeometrične funkcije in druge posebne funkcije ter pri integralih, ki vključujejo potence in eksponentne faktorje.

Uporabe

Teoretična matematika in kompleksna analiza: izpeljave, analitična kontinuiteta, lastnosti funkcij.
Verjetnost in statistika: porazdelitve (gamma-porazdelitev, Chi-kvadrat kot poseben primer, t-porazdelitev), izpeljava gostot in momentov.
Fizika: kvantna mehanika, statistična mehanika, izrazi za integrale in propagatorje.
Numerične metode: približki (npr. Lanczosova aproksimacija) za hitro in natančno računanje Γ(z) v programskih knjižnicah.
Kombinatorika in zvezne razširitve faktoriala: uporaba pri računih, ki vključujejo faktoriele necelih argumentov.

Računanje in implementacije

V praktičnih računalniških orodjih (npr. programskih paketih za numeriko) se za natančen izračun Γ(z) uporabljajo stabilne aproksimacije (Lanczos, Stirlingove razširitve, serije). Ko delamo ročne izračune, pogosto uporabljamo rekurzijo Γ(z+1)=zΓ(z) skupaj s poznanimi vrednostmi (npr. Γ(1/2)=√π) ali Stirlingovo formulo za velike argumente.

Primeri

Γ(1/2) = √π ≈ 1.77245.
Γ(5) = 4! = 24.
Za poljuben realen x > 0, Γ(x) generalizira (x−1)! in je gladka funkcija brez ničel (ima le pole na nenegativnih celih številih 0, −1, −2,...).

Gama funkcija je torej temeljna posebna funkcija z izjemno širokim naborom identitet, povezav in praktičnih uporab — od teoretične analize do numeričnih izračunov v znanosti in inženirstvu.

Funkcija gama vzdolž dela realne osi

Lastnosti

Posebne vrednosti

Nekatere posebne vrednosti funkcije gama so:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\aprox -3,544907701811\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Funkcija Pi

Gauss je uvedel funkcijo Pi. To je drug način označevanja funkcije gama. V smislu funkcije gama je funkcija Pi

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

tako da

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

za vsako nenegativno celo število n.

Aplikacije

Analitična teorija števil

Funkcija gama se uporablja za preučevanje funkcije Riemann zeta. Lastnost Riemannove zeta funkcije je njena funkcionalna enačba:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\desno)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\desno)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann je našel povezavo med tema dvema funkcijama. To je storil leta 1859 v članku "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("O številu praštevil manjšem od dane količine").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je funkcija gama v matematiki?

O: Funkcija gama je ključna tema na področju posebnih funkcij v matematiki.

V: Kakšna je razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila razen na negativna cela števila?

O: Funkcija gama je razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila.

V: Kako je funkcija gama definirana za pozitivna cela števila?

O: Za pozitivna cela števila je funkcija gama definirana kot Γ(n) = (n-1)!

V: Ali je funkcija gama definirana za vsa kompleksna števila?

O: Da, funkcija gama je definirana za vsa kompleksna števila.

V: Ali je funkcija gama definirana za negativna cela števila in ničlo?

O: Ne, funkcija gama ni definirana za negativna cela števila in ničlo.

V: Kako je funkcija gama definirana za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število?

O: Funkcija gama je za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število, definirana s posebno formulo, ki ni navedena v besedilu.

V: Zakaj je funkcija gama pomembna v matematiki?

O: Funkcija gama je pomembna v matematiki, ker je ključna tema na področju posebnih funkcij in ker razširja faktorsko funkcijo na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila.