Funkcija gama
V matematiki je funkcija gama (Γ(z)) razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila. Za pozitivna cela števila je definirana kot Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Funkcija gama je definirana za vsa kompleksna števila. Ni pa definirana za negativna cela števila in ničlo. Za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število, je funkcija definirana z:
Funkcija gama vzdolž dela realne osi
Lastnosti
Posebne vrednosti
Nekatere posebne vrednosti funkcije gama so:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2,363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3,544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1,772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0,88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1,32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3,32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\aprox -3,544907701811\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\aprox 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 1,32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\aprox 3,32335097045\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}} 
Funkcija Pi
Gauss je uvedel funkcijo Pi. To je drug način označevanja funkcije gama. V smislu funkcije gama je funkcija Pi
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},} 
tako da
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
za vsako nenegativno celo število n.
Aplikacije
Analitična teorija števil
Funkcija gama se uporablja za preučevanje funkcije Riemann zeta. Lastnost Riemannove zeta funkcije je njena funkcionalna enačba:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\desno)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\desno)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann je našel povezavo med tema dvema funkcijama. To je storil leta 1859 v članku "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("O številu praštevil manjšem od dane količine").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}. } 
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je funkcija gama v matematiki?
O: Funkcija gama je ključna tema na področju posebnih funkcij v matematiki.
V: Kakšna je razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila razen na negativna cela števila?
O: Funkcija gama je razširitev faktorske funkcije na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila.
V: Kako je funkcija gama definirana za pozitivna cela števila?
O: Za pozitivna cela števila je funkcija gama definirana kot Γ(n) = (n-1)!
V: Ali je funkcija gama definirana za vsa kompleksna števila?
O: Da, funkcija gama je definirana za vsa kompleksna števila.
V: Ali je funkcija gama definirana za negativna cela števila in ničlo?
O: Ne, funkcija gama ni definirana za negativna cela števila in ničlo.
V: Kako je funkcija gama definirana za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število?
O: Funkcija gama je za kompleksno število, katerega realni del ni negativno celo število, definirana s posebno formulo, ki ni navedena v besedilu.
V: Zakaj je funkcija gama pomembna v matematiki?
O: Funkcija gama je pomembna v matematiki, ker je ključna tema na področju posebnih funkcij in ker razširja faktorsko funkcijo na vsa kompleksna števila, razen na negativna cela števila.
