Kotni moment (vrtilna količina): definicija, L = Iω, spin in orbitalni

Kotni moment (L = Iω): jasna razlaga definicije, vztrajnostnega momenta in kotne hitrosti ter razlikovanje spinskega in orbitalnega momenta z razumljivimi primeri.

Kotni moment ali rotacijski moment (L) predmeta, ki se vrti okoli osi, opisuje njegovo količino vrtenja in je sorazmeren z razporeditvijo mase in hitrostjo vrtenja. V enostavnem primeru trdnega telesa, ki se vrti kot trdno telo okoli stalne osi, je povezan z vztrajnostnim momentom in kotno hitrostjo:

L = I ω {\displaystyle L=I\omega }

Kjer v zgornji enačbi velja:

I {\displaystyle I} je vztrajnostni moment (upor proti kotnemu pospeševanju ali upočasnjevanju, enak zmnožku mase in kvadrata njene pravokotne oddaljenosti od osi vrtenja);

ω {\displaystyle \omega \ } je kotna hitrost.

Osnovne lastnosti in vektorska narava

Kotni moment je vektorska količina — njegova velikost in smer opisujeta stanje vrtenja. Pri enakomerni rotaciji okoli fiksne osi je vektor L usmerjen vzdolž osi vrtenja (po pravilih desne roke). Za posamezno točko z maso m, ki se giblje s hitrosti v, je kotni moment glede na izhodišče definiran kot vektorski produkt:

L = r × p, kjer je p = mv (gibalna količina).

Za trdno telo, ki nima preprostega simetričnega porazdelitve mase, je potrebno uporabiti tenzor vztrajnostnega momenta I (matrico), in enačba postane vektorska oblika L = I · ω, kar pomeni, da v splošnem smer L ni nujno enaka smeri ω.

Enote in dimenzije

V SI enotah je enota kotnega momenta kilogram meter² na sekundo (kg·m²/s). Dimenzijsko je L = M L² T⁻¹ (masa × dolžina² / čas).

Povezava s silo in ohranjanje

Sprememba kotnega momenta je povzroči navzven delujoč navoj oziroma moment sile (torque) τ:

dL/dt = τ, kjer je moment sile običajno τ = r × F. Za rotacijo okoli fiksne osi velja analogija z Newtonovim drugim zakonom: τ = I α, kjer je α kotno pospeševanje.

Če je rezultantni zunanji moment sile enak nič (τ = 0), se kotni moment ohranja: L = konst. Ta lastnost pojasni pojave, kot so hitro vrtenje umetnika na ledu, ki približa roke k telesu in tako zmanjša I ter poveča ω, ali pa stabilnost vrtečih se koles in giroskopov.

Spin in orbitalni kotni moment

Poznamo dve vrsti kotnega momenta: spinski in orbitalni kotni moment.

• Orbitalni kotni moment izvira iz gibanja delcev ali delov mase okoli neke osi (npr. planet, ki kroži okoli Sonca ali elektron, ki se giblje okoli jedra). Klasika ga opisuje z L = r × p.
• Spinski kotni moment je notranja (intrinzična) lastnost delcev in makroskopskih objektov. Pri makroskopskih telesih se spin pogosto nanaša na lastno vrtenje okoli lastne osi, pri subatomski ravni pa je spin kvantna spremenljivka brez klasične slike "vrtenja" majhnega krogle. Spin kvantnih delcev je diskreten — lahko je celo polcelo število (npr. 1/2 za elektron) — in se obnaša skladno s kvantno mehaniko.

V kvantni mehaniki sta orbitalni in spinski kotni moment združena v skupni kotni moment J = L + S, katerega vrednosti so kvantizirane. Orbitalni moment je navadno kvantiziran z integrskimi vrednostmi, spin pa lahko obsega tudi polcela števila (npr. 1/2, 3/2 ...), kar ima pomembne posledice za vrsto statistike delcev (Fermi–Dirac vs Bose–Einstein).

Primeri in pojavnosti

• Vrteča se skala ali kolo: pri enakomerni rotaciji okoli simetrične osi velja L = I ω.
• Umetnik na ledu: ko zbliža roke, se zmanjša I in posledično se poveča ω zaradi ohranitve L.
• Giromed: vrteči se rotor ohranja usmerjenost zaradi velikega L; zunanje sile povzročijo precesijo (smer L se spreminja, ne pa nujno magnitude).
• Atom: elektroni imajo orbitalni L zaradi svoje gibljive konfiguracije ter spinski S kot intrinzično lastnost.

Opombe za nadaljnje razumevanje

• Za pravilno ravnanje s kotnim momentom pri složnih geometrijah je treba izračunati vztrajnostni moment z integralom po gostoti mase ali uporabiti tenzor I.
• Pri relativističnih hitrostih in v kvantni mehaniki se definicije prilagodijo — na primer momentni žepovi v atomih in kvantna opazovanja zahtevajo uporabo operaterjev za L in S.
• Matematično je uporabna reprezentacija vektornih produktov in lastnosti rotacijskih grup (SO(3) in SU(2) v kvantni teoriji), kadar prehajamo od klasične k kvantni opisnosti.

Za bolj poglobljene izpeljave in formule o vztrajnostnem momentu glejte vztrajnostni moment, za definicije kotne hitrosti pa kotna hitrost.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je kotni moment?

V: Kako se izračuna kotni moment?

V: Katere so tri vrste kotnega momenta?

Išči po črki