Natančnost števil: pomembne številke, decimalna mesta in zaokroževanje
Natančnost števil: razumite pomembne številke, decimalna mesta in pravilno zaokroževanje — jasna razlaga, primeri in praktični nasveti za natančne izračune.
Natančnost številske vrednosti opisuje število števk, ki se uporabijo za prikaz te vrednosti. V znanstvenem okolju se običajno govori o skupnem številu števk – pomembnih številkah (včasih imenovanih tudi pomembne števke) – ali, v redkejših primerih, o številu ulomkov oziroma decimalnih mest (število števk za decimalno vejico). Druga opredelitev (decimalna mesta) je posebej uporabna v finančnih in inženirskih aplikacijah, kjer je pomembno, koliko mest je v deležu številke za decimalno vejico.
Pomembne številke vs. decimalna mesta
Pomembne številke (significant figures) opisujejo število vseh smiselnih števk v številu, začenši z prvo nenicelno števko. Decimalna mesta pa določajo število števk za decimalno vejico ne glede na vodilne ničle pred vejico. Oba koncepta sta uporabna, vendar imata različen pomen:
- Pomembne številke: koristne pri merjenjih in znanstvenih izračunih, kjer je pomembna relativna natančnost.
- Decimalna mesta: pogosto uporabljena v denarnih izračunih in poročilih (npr. valute imajo običajno dve decimalni mesti).
Zaokroževanje in "kje" označiti natančnost
Izraz "natančnost" se lahko uporabi tudi za opis položaja, na katerem se zaokroži nenatančen rezultat. Pri aritmetiki s plavajočo vejico se rezultati običajno zaokrožijo na določeno ali fiksno natančnost (dolžino signifikanta). Pri finančnih izračunih se pogosto zaokroži na določeno število mest (na primer na dve mesti za decimalnim ločilom pri številnih svetovnih valutah).
Pravila zaokroževanja
Najpogostejše pravilo v računalništvu in financah je pravilo "round half to even" (zaokroževanje na enakomerno), ki ob obravnavi vezi (ko je naslednja števka točno 5, brez kasnejših ničel) zaokroži tako, da zadnjo ohranjeno števko naredi sodo. To pravilo zmanjša pristranskost pri množici zaokroževanj. Obstajajo tudi druga pravila, npr. "round half up" (vse .5 gor), zato je treba preveriti, katero pravilo zahteva vaš kontekst.
Primer: število 12,345
Decimalno količino 12,345 lahko izrazimo z različnim številom pomembnih števk ali decimalnih mest. Če ni na voljo dovolj natančnosti, se število zaokroži tako, da ustreza razpoložljivi natančnosti. Spodaj so rezultati za različne vrednosti natančnosti, zaokroženo z uporabo metode zaokroževanja na enakomerno (okrogla):
- Pomembne števke:
- p = 1: 10
- p = 2: 12
- p = 3: 12,3
- p = 4: 12,34
- p = 5: 12,345 (brez spremembe)
- Decimalna mesta:
- d = 0 mest: 12
- d = 1 mesto: 12,3
- d = 2 mesti: 12,34 (pri pravilu "na enakomerno" ostane 12,34, ker je naslednja števka 5 in prejšnja 4 – sodo)
- d = 3 mesti: 12,345
- d = 4 mesti: 12,3450 (dodane ničle niso pomenljive, razen če želimo poudariti izmero)
Matematična formula za pomembne števke
Predstavitev pozitivnega števila x z natančnostjo p pomembnih števk ima numerično vrednost, ki jo lahko zapišemo s pomočjo zaokrožitvene funkcije. Naj bo n definirano kot
n = floor(log10(x)) + 1 − p.
Potem je zaokrožena vrednost dana z izrazom
okrogla(x / 10^n) · 10^n,
tj. najprej delamo zaokrožitev mantise (absolutne vrednosti v znanstveni notaciji) na ustrezno število števk, nato pa rezultat pomaknemo nazaj v izvirni razred velikosti.
Negativna števila in nič
Pri negativnem številu je zaokroženi rezultat enak negativnemu rezultatu zaokroževanja absolutne vrednosti tega števila: najprej zaokrožite |x|, nato ohranite predznak. To pomeni, da za negativna števila velja enako pravilo kot za pozitivna, razen predznaka. Število 0 lahko s poljubno natančnostjo štejemo za 0.
Priporočila pri poročanju meritev
- Ne poročajte več pomembnih števk, kot jih podpira merilni instrument. Če naprava meri le na najbližji gram, ni smiselno prikazovati dodatnih decimalnih mest na kilogramih (npr. 12,34500 kg predstavlja lažno natančnost).
- Pri finančnih poročilih upoštevajte običaje valute (npr. dve decimalni mesti) in nastavitve računovodskih standardov.
- Pri računalniških izračunih bodite pozorni na pravilnik zaokroževanja (npr. IEEE 754 uporablja zaokroževanje na enakomerno) in na možno akumulacijo napak pri verigi operacij.
Če želite, lahko pripravim tudi kratko tabelo ali dodatne primere za določene vrednosti p ali različnih pravil zaokroževanja (npr. "round half up" ali "round half away from zero").
Sorodne strani
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je natančnost pri številski vrednosti?
O: Natančnost pri številski vrednosti opisuje število števk, ki so uporabljene za prikaz te vrednosti.
V: Kako se lahko natančnost uporablja za opis položaja, na katerem se zaokroži nenatančen rezultat?
O: Natančnost se lahko uporabi za opis položaja, na katerem se zaokroži nenatančen rezultat, z nastavitvijo dane ali fiksne natančnosti, ki je dolžina dobljenega signifikanta. Pri finančnih izračunih se število pogosto zaokroži na določeno število mest (na primer dve mesti za decimalnim ločilom pri številnih svetovnih valutah).
V: Kako lahko 12,345 izrazimo z različnim številom pomembnih števk ali decimalnih mest?
O: 12,345 lahko izrazimo z različnimi števili pomembnih števk ali decimalnih mest tako, da ga zaokrožimo tako, da ustreza razpoložljivi natančnosti z uporabo metode zaokroževanja na enakomerno.
V: Kaj se zgodi, če ni na voljo dovolj natančnosti?
O: Kadar ni na voljo dovolj natančnosti, se število zaokroži tako, da ustreza razpoložljivi natančnosti.
V: Ali je primerno prikazati število z več števkami, kot jih je mogoče izmeriti?
O: Ne, ni primerno prikazati številke z več števkami, kot jih je mogoče izmeriti, saj to ustvarja lažno natančnost. Na primer, če naprava meri na najbližji gram in pokaže vrednost 12,345 kg, bi bila natančnost napačna, če bi bila meritev izražena kot "12,34500 kg" z dvema dodatnima ničlama ("00") na koncu.
V: Katera formula predstavlja pozitivna števila x z natančnostjo p pomembnih števk?
O: Formula, ki predstavlja pozitivna števila x z natančnostjo p pomembnih števk, ima numerično vrednost, ki je podana z round(10-n-x)-10n, kjer je n = floor(log10 x) + 1 - p . Pri negativnih številih je številčna vrednost manjša od absolutne vrednosti, 0 pa ima kakršno koli natančnost, ki se upošteva kot 0.
Iskati