Newtonova metoda
Newtonova metoda omogoča iskanje realnih ničel funkcije. Ta algoritem se včasih imenuje Newton-Raphsonova metoda, poimenovana po siru Isaacu Newtonu in Josephu Raphsonu.
Metoda za iskanje korenov funkcije uporablja derivat funkcije. Na začetku je treba "uganiti vrednost" lokacije ničle. Iz te vrednosti se izračuna nova domneva po tej formuli:
x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 
Pri tem je xn začetna domneva, xn+1 pa naslednja domneva. Funkcija f (katere ničlo se rešuje) ima derivativ f'.
Z večkratno uporabo te formule za ustvarjene domneve (tj. z nastavitvijo vrednosti xn na izhod formule in ponovnim izračunom) se bo vrednost domnev približala ničli funkcije.
Newtonovo metodo je mogoče razložiti grafično, tako da si ogledate presečišča tangentnih premic z osjo x. Najprej se izračuna premica, ki je tangenta na f pri xn. Nato se poišče presečišče te tangente z osjo x. Nazadnje se x-pozicija tega presečišča zapiše kot naslednja domneva, xn+1.
Funkcija (modra) se uporablja za izračun naklona tangentne premice (rdeča) na xn.
Težave z Newtonovo metodo
Newtonova metoda lahko hitro najde rešitev, če se ugibana vrednost začne dovolj blizu želenega korena. Kadar začetna ugibana vrednost ni blizu, pa lahko Newtonova metoda, odvisno od funkcije, rešitev najde počasi ali pa je sploh ne najde.
Nadaljnje branje
- Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Newtonova metoda: Kantorovičeva teorija: posodobljen pristop. Birkhäuser.
- Peter Deuflhard, Newtonove metode za nelinearne probleme. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, druga tiskana izdaja. Serija Computational Mathematics 35, Springer (2006)
- Yamamoto, T. (2001). "Zgodovinski razvoj na področju analize konvergence Newtonovih in Newtonu podobnih metod". In Brezinski, C.; Wuytack, L. (ur.). Numerical Analysis : Historical Developments in the 20th Century (Numerična analiza : zgodovinski razvoj v 20. stoletju). North-Holland, str. 241-263.
Oglejte si tudi
- Kantorovičev izrek (Izrek o konvergenci Newtonove metode, ki ga je ugotovil Leonid Kantorovič)
| Nadzor organa |
|
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Newtonova metoda?
O: Newtonova metoda je algoritem za iskanje realnih ničel funkcije. Za izračun korenov funkcije uporablja njeno izpeljanko, za lokacijo ničle pa zahteva začetno ugibanje vrednosti.
V: Kdo je razvil to metodo?
O: Metodo sta razvila sir Isaac Newton in Joseph Raphson, zato jo včasih imenujemo Newton-Raphsonova metoda.
V: Kako deluje ta algoritem?
O: Ta algoritem deluje tako, da večkrat uporabi formulo, ki prevzame začetno ugibano vrednost (xn) in izračuna novo ugibano vrednost (xn+1). S ponavljanjem tega postopka se ugibanja približajo ničli funkcije.
V: Kaj je potrebno za uporabo tega algoritma?
O: Za uporabo tega algoritma morate imeti začetno "domnevno vrednost" za lokacijo ničle in znanje o odvodniku dane funkcije.
V: Kako lahko Newtonovo metodo razložimo grafično?
O: Newtonovo metodo lahko grafično razložimo tako, da si ogledamo presečišča tangentnih premic z osjo x. Najprej izračunamo premico, ki je tangenta na f pri xn. Nato poiščemo presečišče te tangentne črte z osjo x in zapišemo njeno lego x kot našo naslednjo domnevo - xn+1.
V: Ali obstaja kakšna omejitev pri uporabi Newtonove metode?
O: Da, če je začetna vrednost domneve preveč oddaljena od dejanskega korena, lahko traja dlje časa ali celo ne konvergira proti korenu zaradi nihanja okoli njega ali odstopanja od njega.
