Delni odvod (delni derivat): definicija, lastnosti in primeri

Razumite delni odvod: jasna definicija, lastnosti in praktični primeri za večspremenljivostne funkcije. Učinkovita razlaga za študente in praktike.

Avtor: Leandro Alegsa

22-10-2025 21:40

V računstvu, napredni vrsti matematike, je delni derivat funkcije derivat ene imenovane spremenljivke, neimenovana spremenljivka funkcije pa je konstantna. Z drugimi besedami, delni derivat je derivat določenih označenih spremenljivk funkcije in ne diferencira drugih spremenljivk. Zapis

∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} ${\frac {\partial f}{\partial x}}$

se običajno uporablja, čeprav so veljavni tudi drugi zapisi. Običajno, čeprav ne vedno, se parcialni derivat uporablja pri večrazsežnostnih funkcijah (funkcija s tremi ali več spremenljivkami, ki so lahko neodvisne ali odvisne).

Definicija (limitni zapis)

Če je f funkcija več spremenljivk, na primer f(x,y), se delni derivat po spremenljivki x v točki (a,b) definira kot limitni izraz

∂f/∂x(a,b) = lim_h→0 [f(a+h, b) − f(a, b)] / h,

pri čemer se y drži konstantno. Analogno definiramo ∂f/∂y z zadržano x. Ta limitna definicija poudarja, da obravnavamo spremembo funkcije samo v smeri ene izmed spremenljivk.

Osnovne lastnosti

Linearnost: ∂(αf + βg)/∂x = α ∂f/∂x + β ∂g/∂x za konstanti α, β.
Produktno pravilo: ∂(f g)/∂x = (∂f/∂x) g + f (∂g/∂x).
Kvocientno pravilo: ∂(f/g)/∂x = [(∂f/∂x) g − f (∂g/∂x)] / g², če je g ≠ 0.
Verižna pravila: Če je h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)), potem
∂h/∂u = (∂f/∂x) (∂x/∂u) + (∂f/∂y) (∂y/∂u),
in analogno za ∂h/∂v (to je parcialna oblika verižnega pravila).
Hieveržne parcialne odvode: Značilno lahko računamo višje parcialne odvode, npr. ∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y itd.
Clairautova (Schwarzova) teorema): Če sta mešana parciala ∂²f/∂x∂y in ∂²f/∂y∂x neprekinjeni v bližini točke, sta si enaki v tej točki: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.

Gradient in Jakobijev (Jacobian) matriks

Za skalarno funkcijo f(x₁,…,x_n) je gradient vektor parcialnih odvodov

∇f = (∂f/∂x₁, …, ∂f/∂x_n).

Za vektorsko funkcijo F = (f₁,…,f_m) je Jakobijev matriks matrika parcialnih odvodov, kjer element v i-tem vrstici in j-tem stolpcu je ∂f_i/∂x_j. Jakobijev matriks je pomemben pri linearizaciji, spremembah koordinat in pri analizi stabilnosti.

Razlika med parcialnim in totalnim odvodom

Delni odvod meri spremembo funkcije, ko spremenimo le eno spremenljivko, vse ostale pa fiksiramo. Totalni (skladni) odvod upošteva vse poti, preko katerih se funkcija spreminja (npr. če so spremenljivke odvisne med sabo). Če x in y sami zavisita od t, potem df/dt = (∂f/∂x) dx/dt + (∂f/∂y) dy/dt.

Primeri računa parcialnih odvodov

Primer 1: Naj bo f(x,y) = x² y + sin(x y).

∂f/∂x = 2x y + cos(x y) · y = y (2x + cos(x y)).
∂f/∂y = x² + cos(x y) · x = x (x + cos(x y)).

Primer 2 (tri spremenljivke): g(x,y,z) = x y² + e^{x z} sin y.

∂g/∂x = y² + z e^{x z} sin y.
∂g/∂y = 2 x y + e^{x z} cos y.
∂g/∂z = x e^{x z} sin y.

Primer verižnega pravila: Naj bo h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)). Potem za ∂h/∂u uporabimo formulo iz zgornjega razdelka: ∂h/∂u = f_x x_u + f_y y_u.

Uporabe

Optimizacija funkcij več spremenljivk (iskanje ekstremov) — gradiente uporabljamo pri pogojih za stacionarne točke in pri metodah, kot je Lagrangeova multiplikatorja.
Analiza in reševanje parcialnih diferencialnih enačb (PDE), kjer parcialni odvodi predstavljajo osnovne konstrukte (npr. Laplaceov operator ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ...).
Modeliranje fizičnih pojavov (temperatura, tlak, hitrost), kjer so odvisnosti po več spremenljivkah običajne.
Strojno učenje in optimizacija, kjer gradienti usmerjajo algoritme za učenje (gradientni spust).

Opombe in pogoji

Za obstoj parcialnega odvoda v točki je običajno dovolj, da obstajajo limitne vrednosti definicije za dano spremenljivko. Za kontinuiranost parcialnih odvodov in zamenljivost mešanih parcialnih odvodov so potrebni dodatni pogoji (npr. neprekinjenost).
Delni odvodi so lokalni koncept: govorijo o obnašanju funkcije v bližini točke in ne dajo nujno globalne informacije o funkciji.

Za dodatne razlage, demonstracije korak-za-korakom računov ali rešitve konkretnih nalog lahko navedete funkcijo oziroma nalogo, ki jo želite obdelati, in pripravim podroben postopek.

Primeri

Če imamo funkcijo f ( x , y ) = x 2 + y {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y} $f(x,y)=x^{2}+y$ , potem obstaja več delnih izpeljank f(x, y), ki so vse enako veljavne. Na primer,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1} ${\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1$

Lahko pa naredimo naslednje:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x} ${\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x$

Sorodne strani

Derivativ (matematika)

Calculus

Količnik razlike

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je parcialni derivat?

O: Delni derivat je derivat ene poimenovane spremenljivke v funkciji, pri čemer so vse druge neimenovane spremenljivke konstantne.

V: Kako se običajno zapiše delna izpeljanka?

O: Delni derivat funkcije f glede na spremenljivko x se običajno zapiše kot {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}, f_x ali \partial _{x}f.

V: Ali je parcialni derivat vedno vzet v večrazsežnostni funkciji?

O: Običajno, čeprav ne vedno, se delna izpeljanka upošteva v večrazsežnostni funkciji (funkcija, ki ima za vhod dve ali več spremenljivk).

V: Kaj pomeni diferencirati nekatere navedene spremenljivke funkcije?

O: Diferenciranje določenih označenih spremenljivk funkcije pomeni, da vzamemo izpeljanke teh določenih spremenljivk, medtem ko vse druge spremenljivke ostanejo konstantne.

V: Kakšno vrsto računanja vključuje ta koncept?

O: Ta koncept vključuje večrazsežnostni račun, ki preučuje hitrost sprememb funkcij z več spremenljivkami.

V: Ali obstajajo še kakšni drugi veljavni zapisi za parcialni odvod poleg tistih, ki so omenjeni v besedilu?

O: Da, poleg zapisov, navedenih v besedilu, lahko obstajajo tudi drugi veljavni zapisi za parcialno izpeljanko.

Iskati