Funkcija gostote verjetnosti (PDF): definicija zveznih porazdelitev in primeri

Funkcija gostote verjetnosti je funkcija, ki jo lahko definiramo za katero koli zvezno porazdelitev verjetnosti. Integral funkcije gostote verjetnosti na intervalu [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} daje verjetnost, da je dana naključna spremenljivka z dano gostoto v navedenem intervalu. V formalni obliki: če je f(x) funkcija gostote za naključno spremenljivko X, potem velja P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx. Funkcija gostote je definirana skoraj povsod and izpolnjuje osnovne lastnosti, opisane spodaj.

Osnovne lastnosti

• Ne-negativnost: f(x) ≥ 0 za vse x.
• Normalizacija: integral po celotni realni osi je 1, tj. ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1.
• Verjetnost točke: Za zvezne porazdelitve je P(X = x) = 0 za katerokoli točno vrednost x; verjetnosti se določajo za intervale z integrali.
• Povezava s porazdelitveno funkcijo (CDF): Če je F(x) porazdelitvena funkcija spremenljivke X, potem je F(x) = ∫_{−∞}^{x} f(t) dt (skoraj povsod), in f je po velikem delu odvod F'(x).

Razlika med zvezno in diskretno porazdelitvijo

Funkcija gostote verjetnosti je potrebna za delo z zveznimi porazdelitvami. Če vržeš kocko, dobiš številke od 1 do 6 z verjetnostjo 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} , vendar to ni zvezna funkcija, saj so možna samo števila od 1 do 6. Nasprotno pa dve osebi ne bosta enako visoki ali enako težki. S funkcijo gostote verjetnosti je mogoče določiti verjetnost za ljudi, ki merijo med 180 in 181 centimetri ali med 80 in 81 kilogrami, čeprav je med tema dvema mejama neskončno veliko vrednosti. Takšna verjetnost se izračuna kot integral funkcije gostote med tema mejama.

Primeri pogostih gostot

• Enakomerna (uniformna) porazdelitev na [a, b]: f(x) = 1/(b−a) za x ∈ [a,b], drugod 0. Verjetnost za kateri koli podinterval izračunamo kot razmerje dolžin.
• Normalna (Gaussova) porazdelitev N(μ, σ²): gosta f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(−(x−μ)²/(2σ²)). Ponavadi se uporablja za opis meritev, kot so višine ali napake meritev.
• Eksponentna porazdelitev: f(x) = λ e^{−λ x} za x ≥ 0, pogosto modelira čas do naslednje dogodka (npr. čas med okvarami).

Uporaba in računanje pričakovanih vrednosti

Funkcija gostote omogoča izračun pričakovane vrednosti in variance naključne spremenljivke X preko integralov:

• Pričakovana vrednost: E[X] = ∫_{−∞}^{∞} x f(x) dx.
• Variance: Var(X) = ∫_{−∞}^{∞} (x − E[X])² f(x) dx.

Pri transformacijah spremenljivk (npr. Y = g(X)) se za gostoto Y uporablja metoda spremembe spremenljivk ali formula za transformacijo gostote: f_Y(y) = f_X(g^{−1}(y)) · |d/dy g^{−1}(y)|, kjer je g obrnljiva na ustreznem intervalu.

Dodatne opombe

Obstajajo tudi mešane porazdelitve, ki imajo hkrati diskretni in zvezni del (npr. porazdelitev z atomsko maso v neki točki in zvezno gostoto drugod). V praksi se pogosto dela s približki PDF (npr. z normalno porazdelitvijo) pri statističnih modelih in pri ocenjevanju gostot iz podatkov (npr. kernel density estimation).

Za primer: če poznamo gostoto f za višino ljudi, potem je verjetnost, da je oseba visoka med 180 in 181 cm, enaka ∫_{180}^{181} f(x) dx. Tudi če interval vsebuje neskončno mnogo možnih vrednosti, integral daje končno verjetnost zahvaljujoč lastnostim gostote.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je funkcija gostote verjetnosti?

V: Kako zapišemo funkcijo gostote verjetnosti naključne spremenljivke X?

V: Kaj predstavlja integral funkcije gostote verjetnosti?

V: Ali je funkcija gostote verjetnosti vedno nenegativna na celotnem območju?

V: Ali je vsota integracije na intervalu enaka 1?

V: Katero vrsto porazdelitve opisuje funkcija gostote verjetnosti?

Išči po črki