Determinanta

Razlaga

Obstaja več načinov, kako razumeti, kaj determinanta pove o matriki.

Geometrijska razlaga

Matriko n × n {\displaystyle n\times n} lahko obravnavamo kot opis linearnega zemljevida v n {\displaystyle n} dimenzijah. V tem primeru vam determinanta pove faktor, s katerim ta matrika skalira (povečuje ali krči) območje n {\displaystyle n}-razsežnega prostora.

Na primer, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matrika A {\displaystyle A} ki jo obravnavamo kot linearni zemljevid, spremeni kvadrat v dvodimenzionalnem prostoru v paralelogram. Površina tega paralelograma bo det ( A ) {\displaystyle \det(A)} krat večja od površine kvadrata.

Na enak način bo matrika B 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} , ki jo obravnavamo kot linearni zemljevid, spremenila kocko v tridimenzionalnem prostoru v paralelno ploskev. Prostornina tega paralelepipeda bo det ( B ) {\displaystyle \det(B)} krat večja od prostornine kocke.

Determinanta je lahko negativna. Linearni zemljevid lahko prostornino raztegne in pomanjša, lahko pa jo tudi odraža preko osi. Kadarkoli se to zgodi, se znak determinante spremeni iz pozitivnega v negativnega ali iz negativnega v pozitivnega. Negativna determinanta pomeni, da je bila prostornina zrcaljena preko lihega števila osi.

Razlaga "sistema enačb"

Matriko si lahko predstavljate kot opis sistema linearnih enačb. Ta sistem ima edinstveno netrivialno rešitev, kadar determinanta ni enaka 0. (Netrivialno pomeni, da rešitev ni samo vse ničle.)

Če je determinanta enaka nič, potem ni edinstvene netrivialne rešitve ali pa jih je neskončno veliko.

Singularne matrike

Matrika ima inverzno matriko natanko takrat, ko determinanta ni enaka 0. Zato se matrika z neničelno determinanto imenuje invertibilna. Če je determinanta enaka 0, se matrika imenuje neinverzibilna ali singularna.

Geometrijsko si lahko singularno matriko predstavljate kot "sploščenje" paralelne cevi v paralelogram ali paralelograma v črto. Tedaj je prostornina ali površina enaka 0 in ni linearne karte, ki bi povrnila staro obliko.

Izračun determinante

Determinanto lahko izračunamo na več načinov.

Enačbe za majhne matrike

• Za matrike 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} in 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} si lahko zapomnite formule:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Za matrike 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} je formula naslednja:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

To formulo si lahko zapomnite s Sarrusovim pravilom (glejte sliko).

Razširitev kofaktorjev

Pri večjih matrikah je determinanto težje izračunati. Eden od načinov je t. i. kofaktorska razširitev.

Recimo, da imamo n × n {\displaystyle n\times n} matriko A {\displaystyle A} . Najprej izberemo poljubno vrstico ali stolpec matrike. Za vsako število a i j {\displaystyle a_{ij}} v tej vrstici ali stolpcu izračunamo nekaj, kar imenujemo njegov kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} . Potem det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} .

Za izračun takega kofaktorja C i j {\displaystyle C_{ij}} , izbrišemo vrstico i {\displaystyle i} in stolpec j {\displaystyle j} iz matrike A {\displaystyle A} . Tako dobimo manjšo ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\krat (n-1)} matriko. Imenujemo jo M {\displaystyle M} . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}}} je potem enak ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Tukaj je primer kofaktorske razširitve levega stolpca matrike 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\konec{bmatrike}}}desno)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}}

Kot lahko vidite tukaj, si lahko prihranimo delo, če izberemo vrstico ali stolpec, ki ima veliko ničel. Če je a i j {\displaystyle a_{ij}} 0, nam ni treba izračunati C i j {\displaystyle C_{ij}} .

Sorodne strani

• Zvezek