Determinanta matrike: definicija, izračun, lastnosti in primeri

Determinanta kvadratne matrike je skalar (število), ki opisuje več pomembnih lastnosti te matrike: ali je matrika obrnljiva, koliko linearni preslikavi, ki jo matrika predstavlja, spremeni prostornino v prostoru, in kakšen je učinek na orientacijo (oziroma obratno). Determinanto lahko izračunate neposredno iz števil v matriki z uporabo različnih metod (formule za majhne matrike, Sarrusovo pravilo za 3×3, Laplaceova ekspanzija, Leibnizova formula ali z uporabo Gaussove eliminacije/LU-dekompozicije za večje matrike).

"Determinanta matrike A {\displaystyle A} $A$ " se v formuli zapiše kot det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ ali | A | {\displaystyle |A|} $|A|$ .det ( [ a b c d ] ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}}\right)} in | [ $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ a b c d ] | {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}\right|} $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ , zapišemo det [ a b c d ] {\displaystyle \det {\begin{bmatrica}a&b\c&d\end{bmatrica}}} in | a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d | {\displaystyle \left|{\begin{matrica}a&b\c&d\end{matrica}}\right|} .

Osnovna definicija in intuitivni pomen

Determinanta kvadratne matrike A velikosti n×n je skalar, ki ga lahko razumemo kot faktor spreminjanja n-dimenzionalne prostornine pri preslikavi, ki jo definira A. Če |det(A)| = 2, matrika poveča prostornino enotskega kubusa za faktor 2; če je det(A) negativna, poleg spremembe prostornine pride tudi do preobrata orientacije (zrcaljenja).

Osnovne formule in metode izračuna

2×2 matrika: za matriko A = [a b; c d] velja
det(A) = ad − bc.
3×3 matrika (Sarrusovo pravilo): za A = [a b c; d e f; g h i] je
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh. (To pravilo deluje le za 3×3 matrike.)
Laplaceova ekspanzija: determinanto n×n matrike lahko razširimo po poljubni vrstici ali stolpcu v vsoto manjših determinant (pričakovano število elementov × njihovi algebraični dodatki). Uporabno za teoretične dokaze in pri ročnem izračunu manjših matrik.
Leibnizova formula: determinanta je vsota produktov elementov iz vsake permutacije stolpcev s predznakom, določenim s parnostjo permutacije:
det(A) = Σ_{σ∈S_n} sign(σ) Π_{i=1..n} a_{i,σ(i)}.
Gaussova eliminacija / LU-dekompozicija: praktična metoda za računalniški izračun determinant pri velikih matricah — med pivoti spremljamo množenje z diagonalnimi elementi ter število zamenjav vrstic (vsaka zamena obrne predznak), rezultat je produkt diagonalnih elementov (upoštevamo faktorje iz večkratnega skaliranja vrstic).

Glavne lastnosti determinante

Multiplikativnost: det(AB) = det(A) · det(B).
Transponiranje: det(A^T) = det(A).
Vpliv na invertibilnost: matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko det(A) ≠ 0. Če je A obrnljiva, velja det(A^{-1}) = 1 / det(A).
Diagonalne in trikotne matrike: determinanta je produkt diagonalnih elementov. Torej za zgornjo ali spodnjo trikotno matriko je det = Π_{i} a_{ii}.
Vrstične operacije:
- Zamenjava dveh vrstic obrne predznak determinante (pomnoži z −1).
- Pomnožitev vrstice z konstanto k pomnoži determinanto z k.
- Prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi vrstici ne spremeni determinante.
Determinanta in lastne vrednosti: determinanta kvadratne matrike je produkt njenih lastnih vrednosti (štejtih z algebraično multiplicnostjo): det(A) = Π_{i} λ_i.
Povezava z geometrijo: absolutna vrednost determinante pove faktor raztezanja prostornine, predznak pa ohranjanje ali preobrat orientacije.

Praktični primeri

1) 2×2 primer
A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{bmatrix} → det(A) = 3·7 − 5·2 = 21 − 10 = 11.

2) 3×3 primer (Sarrus)
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} → det(A) = 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 − 3·5·7 − 2·4·9 − 1·6·8 = 45 + 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = 0.
Ta matrika ima det = 0, zato ni obrnljiva (vrstice so linearno odvisne).

3) Vpliv vrstičnih operacij
Za matriko B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix} lahko z Gaussovo eliminacijo dobimo trikotno obliko in nato izračunamo produkt diagonalnih elementov, pri čemer pazimo na morebitne zamenjave vrstic ali množenje vrstic z faktorjem.

Kdaj in kako se determinanta uporablja

Preverjanje obrnljivosti sistemov linearnih enačb: Če je determinanta koeficientne matrike nič, sistem nima enolične rešitve (lahko ima nič ali neskončno veliko rešitev).
Izračun spremembe prostornine pri linearnih preslikavah v fiziki in geometriji.
Pri analizi lastnih vrednosti, stabilnosti sistemov in pri reševanju diferencialnih enačb.
V računalniških aplikacijah: pri računanju inverzov, rešitev linearnih sistemov, pri optimizaciji in statistiki (npr. v determinantah kovariančnih matrik).

Nasveti za računanje

Za praktične račune z večjimi matrikami uporabljajte numerične metode (LU-dekompozicija) zaradi boljše učinkovitosti in stabilnosti.
Pri ročnem reševanju izkoristite lastnosti vrstičnih operacij, da poenostavite matriko v trikotno obliko.
Preverite znake in število zamenjav vrstic med eliminacijo, saj en napačen korak spremeni predznak rezultata.

Determinanta je torej osnovno orodje v linearni algebri z bogatim teoretičnim pomenom in široko uporabnostjo v praksi. Razumevanje njenih lastnosti in metod izračuna omogoča učinkovito reševanje številnih problemov v matematiki, fiziki in računalništvu.

Razlaga

Obstaja več načinov, kako razumeti, kaj determinanta pove o matriki.

Geometrijska razlaga

$n\times n$ Matriko n × n {\displaystyle n\times n} lahko obravnavamo kot opis linearnega zemljevida v n {\displaystyle n} dimenzijah. V tem primeru vam determinanta pove faktor, s katerim ta matrika skalira (povečuje ali krči) območje n {\displaystyle n}-razsežnega prostora.

Na primer, 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ matrika A {\displaystyle A} $A$ ki jo obravnavamo kot linearni zemljevid, spremeni kvadrat v dvodimenzionalnem prostoru v paralelogram. Površina tega paralelograma bo det ( A ) {\displaystyle \det(A)} $\det(A)$ krat večja od površine kvadrata.

Na enak način bo $3\times 3$ matrika B 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} $B$ , ki jo obravnavamo kot linearni zemljevid, spremenila kocko v tridimenzionalnem prostoru v paralelno ploskev. Prostornina tega paralelepipeda bo det ( B ) {\displaystyle \det(B)} $\det(B)$ krat večja od prostornine kocke.

Determinanta je lahko negativna. Linearni zemljevid lahko prostornino raztegne in pomanjša, lahko pa jo tudi odraža preko osi. Kadarkoli se to zgodi, se znak determinante spremeni iz pozitivnega v negativnega ali iz negativnega v pozitivnega. Negativna determinanta pomeni, da je bila prostornina zrcaljena preko lihega števila osi.

Razlaga "sistema enačb"

Matriko si lahko predstavljate kot opis sistema linearnih enačb. Ta sistem ima edinstveno netrivialno rešitev, kadar determinanta ni enaka 0. (Netrivialno pomeni, da rešitev ni samo vse ničle.)

Če je determinanta enaka nič, potem ni edinstvene netrivialne rešitve ali pa jih je neskončno veliko.

Za 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} $2\times 2$ matriko [ a c b d ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\b&d\end{bmatrix}} ${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$ , je determinanta površina paralelograma. (Površina je enaka a d - b c {\displaystyle ad-bc} $ad-bc$ .)

Singularne matrike

Matrika ima inverzno matriko natanko takrat, ko determinanta ni enaka 0. Zato se matrika z neničelno determinanto imenuje invertibilna. Če je determinanta enaka 0, se matrika imenuje neinverzibilna ali singularna.

Geometrijsko si lahko singularno matriko predstavljate kot "sploščenje" paralelne cevi v paralelogram ali paralelograma v črto. Tedaj je prostornina ali površina enaka 0 in ni linearne karte, ki bi povrnila staro obliko.

Izračun determinante

Determinanto lahko izračunamo na več načinov.

Enačbe za majhne matrike

Za $2\times 2$ matrike 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} $1\times 1$ in 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} si lahko zapomnite formule:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Za $3\times 3$ matrike 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} je formula naslednja:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

To formulo si lahko zapomnite s Sarrusovim pravilom (glejte sliko).

Razširitev kofaktorjev

Pri večjih matrikah je determinanto težje izračunati. Eden od načinov je t. i. kofaktorska razširitev.

Recimo, da imamo n × n {\displaystyle n\times n} $n\times n$ matriko A {\displaystyle A} $A$ . Najprej izberemo poljubno vrstico ali stolpec matrike. Za vsako število a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ v tej vrstici ali stolpcu izračunamo nekaj, kar imenujemo njegov kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ . Potem det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Za izračun takega kofaktorja C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ , izbrišemo vrstico i {\displaystyle i} $i$ in stolpec j {\displaystyle j} $j$ iz matrike A {\displaystyle A} $A$ . Tako dobimo manjšo ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\krat (n-1)} $(n-1)\times (n-1)$ matriko. Imenujemo jo M {\displaystyle M} $M$ . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}}} $C_{ij}$ je potem enak ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Tukaj je primer kofaktorske razširitve levega stolpca $3\times 3$ matrike 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\konec{bmatrike}}}desno)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\&=-11.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Kot lahko vidite tukaj, si lahko prihranimo delo, če izberemo vrstico ali stolpec, ki ima veliko ničel. Če je a i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ 0, nam ni treba izračunati C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ .

Formula 3 × 3 {\displaystyle 3\krat 3} $3\times 3$ determinanta je vsota produktov. Ti produkti gredo po diagonalah, ki se "ovijejo" do vrha matrike. Ta trik se imenuje Sarrusovo pravilo.

Sorodne strani

Zvezek

Nadzor organa

BNF: cb11975737s (podatki)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je determinanta?

O: Determinanta je skalar (število), ki kaže, kako se obnaša kvadratna matrika.

V: Kako lahko izračunamo determinanto matrike?

O: Determinanto matrike lahko izračunamo iz števil v matriki.

V: Kako se zapiše determinanta matrike?

O: Determinanta matrike je v formuli zapisana kot det(A) ali |A|.

V: Ali obstajajo še drugi načini zapisa determinante matrike?

O: Da, namesto det([a b c d]) in |[a b c d]| lahko preprosto zapišemo det [a b c d] in |[a b c d]|.

V: Kaj pomeni, ko rečemo "skalar"?

O: Skalar je posamezno število ali količina, ki ima velikost, ni pa povezana s smerjo.

V: Kaj so kvadratne matrike?

O: Kvadratne matrike so matrike z enakim številom vrstic in stolpcev, kot so matrike 2x2 ali 3x3.