V matematiki se beseda znak nanaša na lastnost pozitivnosti ali negativnosti. Vsako realno število (ki ni nič) je pozitivno ali negativno in ima zato znak. Sama ničla je brez znaka ali brez predznaka. Poleg dodajanja znakov realnim številom se beseda znak v matematiki uporablja tudi za označevanje delov matematičnih objektov, ki pomenijo pozitivnost in negativnost. Običajno, če vidimo števila brez znaka, jih obravnavamo kot pozitivna števila.

Beseda znak se včasih uporablja tudi za različne matematične znake, kot so znaki plus in minus ter znak za množenje.

Kaj pomeni "znak" pri številih

Znak števila pove, ali je število pozitivno ali negativno. Pozitivna števila imajo predznak + (pogosto ga izpustimo), negativna pa predznak −. Na primer: +5 ali preprosto 5 je pozitivno, medtem ko je −3 negativno. Nižja posebnost: ničla nima predznaka — ni ne pozitivna ne negativna.

Notacija in simboli

  • + pomeni pozitivno ali se uporabi za seštevanje.
  • − pomeni negativno ali se uporabi za odštevanje.
  • Pri zapisu realnih števil običajno izpuščamo znak +: pišemo 5 namesto +5.
  • Funkcija znaka (pogosto zapišemo sgn) pripiše številu vrednosti −1, 0 ali +1 (glej spodaj).

Osnovna pravila za računanje s predznaki

Pri množenju in deljenju veljajo preprosta pravila za predznake:

  • + × + = +
  • − × − = +
  • + × − = −
  • Enaka pravila veljajo tudi za deljenje: (−a)/(−b) = a/b, (−a)/b = −(a/b).

Pri seštevanju in odštevanju je odločilen velikostni odnos števil (absolutnih vrednosti):

  • Če seštejemo števili z enakim predznakom, se absolutni vrednosti seštejeta in predznak ostane enak.
  • Če seštejemo števili z različnima predznakoma, odštejemo manjšo absolutno vrednost od večje in prevladujoči predznak pripišemo rezultatu.
  • Odštevanje je enako seštevanju z nasprotnim predznakom: a − b = a + (−b).

Funkcija znaka (sgn)

Funkcija znaka je uporabna za formalno označevanje predznaka števila:

  • sgn(x) = +1, če je x > 0
  • sgn(x) = 0, če je x = 0
  • sgn(x) = −1, če je x < 0

Funkcija znaka se pogosto uporablja pri analizi funkcij, pri reševanju enačb in sistemov ter pri dokazih, ki temeljijo na lastnostih predznakov.

Absolutna vrednost in povezava z znakom

Absolutna vrednost |x| je vedno nenegativna in daje velikost števila brez predznaka. Od števila ga lahko ponovno dobimo z množenjem z njegovim znakom:

x = sgn(x) · |x| (razen za x = 0, kjer sgn(0) = 0).

Posebnosti in razširitve

  • Kompleksna števila nimajo urejenega pojma pozitivno/negativno, zato za kompleksna števila govorimo o absolutni vrednosti (modulu) in argumentu, ne pa o predznaku v realnem smislu.
  • Računalništvo: obstajajo "signed" (s predznakom) in "unsigned" (brez predznaka) podatkovni tipi. Pri plavajočih pticah (floating point) je možen pojav −0, ki je poseben zapis z negativnim predznakom, a pri primerjavah je −0 običajno enak 0.
  • Sprememba predznaka: operator − pred številom spremeni njegov znak: −(−a) = a.
  • Diagrami znakov: pri analizi funkcij se pogosto uporabi tabelo ali številčno os, da se prikaže, kje je funkcija pozitivna, negativna ali ničelna (znakovni diagram ali sign chart).

Uporaba v praktičnih primerih

  • Reševanje enačb in neenačb: predznaki vplivajo na rešitve (npr. kvadratna funkcija je vedno ≥ 0, linearne funkcije spreminjajo predznak ob ničlah).
  • Fizikalne količine: smeri (hitrost, pospešek) pogosto modeliramo z znaki (pozitivno ena smer, negativno nasprotna).
  • Finančne aplikacije: dobiček in izguba se običajno predstavljata s pozitivnimi oziroma negativnimi vrednostmi.

Kratek povzetek

  • Znak pove, ali je realno število pozitivno ali negativno; ničla nima predznaka.
  • Pri množenju in deljenju velja preprosto pravilo: enaka predznaka da pozitiven rezultat, različna da negativnega.
  • Funkcija sign(x) je uporabna za formalno določitev predznaka: +1, 0 ali −1.
  • V nekaterih področjih (kompleksna števila, računalniški tipi) je interpretacija znaka drugačna ali omejena.