Paralelepiped (paralelopiped): definicija, lastnosti in primeri

Katerega koli od treh parov vzporednih ploskev lahko obravnavamo kot osnovno ploskev prizme. Paralelepiped ima tri sklope štirih vzporednih robov; robovi znotraj vsakega sklopa so enako dolgi.

Vzporedniki so rezultat linearnih transformacij kocke (za nedegenerirane primere: bijektivne linearne transformacije).

Ker ima vsaka stran točkovno simetrijo, je paralelepiped zonoeder. Tudi celoten paralelepiped ima točkovno simetrijo _{Ci (}glej tudi triklin). Vsaka stran je, gledano od zunaj, zrcalna slika nasprotne strani. Stranice so na splošno kiralne, vendar paralelnolepiped ni.

S skladnimi kopijami kateregakoli paralelepipeda je mogoča tesselacija, ki zapolnjuje prostor.

Prostornina paralelepipeda je zmnožek površine njegove osnove A in višine h. Osnova je katera koli od šestih ploskev paralelepipeda. Višina je pravokotna razdalja med osnovo in nasprotno stranico.

Alternativna metoda definira vektorje a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) in c = (c1, c2, c3), ki predstavljajo tri robove, ki se stikajo v enem vrhu. Prostornina paralelepipeda je potem enaka absolutni vrednosti skalarnega trojnega produkta a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

To je res, ker če izberemo b in c kot robova podlage, je površina podlage po definiciji presečnega produkta (glej geometrijski pomen presečnega produkta),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \desno|\levo|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\levo|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \desno|,}

kjer je θ kot med točkama b in c, višina pa je

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\levo|\mathbf {a} \desno|\cos \alpha ,}

kjer je α notranji kot med a in h.

Iz slike lahko sklepamo, da je velikost α omejena na 0° ≤ α < 90°. Nasprotno pa lahko vektor b × c tvori z a notranji kot β večji od 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Ker je b × c vzporeden s točko h, je vrednost β bodisi β = α bodisi β = 180° - α.

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

in .

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\levo|\mathbf {a} \desno|\levo|\cos \beta \desno|. }

Ugotavljamo, da

V = A h = | a | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\levo|\mathbf {a} \desno|\levo|\mathbf {b} \krat \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

ki je po definiciji skalarnega (ali točkovnega) produkta enak absolutni vrednosti a - (b × c), Q.E.D.

Slednji izraz je prav tako enakovreden absolutni vrednosti determinante tridimenzionalne matrike, sestavljene iz vrstic (ali stolpcev) a, b in c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

To se ugotovi s Cramerjevim pravilom za tri zmanjšane dvodimenzionalne matrike, dobljene iz izvirnika.

Če so a, b in c dolžine robov paralelepipeda, α, β in γ pa notranji koti med robovi, je prostornina

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Ustrezni tetraeder

Prostornina vsakega tetraedra, ki ima tri konvergentne robove paralelne ploskve, je enaka eni šestini prostornine paralelne ploskve (glej dokaz).

Pri paralelnolepipedih s simetrično ravnino obstajata dva primera:

• ima štiri pravokotne ploskve
• ima dve rombični ploskvi, od drugih ploskev pa sta dve sosednji enaki in drugi dve prav tako (oba para sta si zrcalna slika).

Glej tudi monoklinski.

Pravokotni kuboid, imenovan tudi pravokotni paralelepiped ali včasih preprosto kuboid, je paralelepiped, katerega vse stene so pravokotne; kocka je kuboid s kvadratnimi stenami.

Romboeder je vzporednik z vsemi rombičnimi stranicami; trigonalni trapezoeder je romboeder s skladnimi rombičnimi stranicami.

Popoln paralelnolepiped je paralelnolepiped s celimi dolžinami robov, čelnih diagonal in prostorskih diagonal. Leta 2009 je bilo dokazano, da obstaja več deset popolnih paralelepipedov, kar je bil odgovor na odprto vprašanje Richarda Guya. En primer ima robove 271, 106 in 103, manjše čelne diagonale 101, 266 in 255, večje čelne diagonale 183, 312 in 323 ter prostorske diagonale 374, 300, 278 in 272.

Poznamo nekaj popolnih paralelopipedov z dvema pravokotnima stranicama. Ni pa znano, ali obstajajo tudi taki, ki imajo vse ploskve pravokotne; tak primer bi imenovali popoln kuboid.

Coxeter je posplošitev paralelepipeda v višjih dimenzijah poimenoval paralelotopa.

V n-razsežnem prostoru se imenuje n-razsežni paralelotop ali preprosto n-paralelotop. Tako je paralelogram 2-paralelotopa, paralelopiped pa 3-paralelotopa.

Na splošno ima paralelotop ali voronojev paralelotop vzporedne in skladne nasprotne ploskve. Tako je 2-paralelotop paralelogon, ki lahko vključuje tudi nekatere šestkotnike, 3-paralelogon pa je paraleloeder, ki vključuje 5 vrst poliedrov.

Diagonale n-paralelotopa se sekajo v eni točki in so s to točko presekane. Inverzija v tej točki pusti n-paralelotop nespremenjen. Glej tudi fiksne točke izometričnih grup v evklidskem prostoru.

Robovi, ki izhajajo iz enega vrhnjega dela k-paralelotopa, tvorijo k-okvir ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektorskega prostora, paralelotop pa je mogoče obnoviti iz teh vektorjev z linearnimi kombinacijami vektorjev z utežmi med 0 in 1.

Obseg n-paralelotopa, vgrajenega v R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kjer m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, lahko izračunamo s pomočjo Gramove determinante. Druga možnost je, da je prostornina norma zunanjega produkta vektorjev:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Če je m = n, je to absolutna vrednost determinante n vektorjev.

Druga formula za izračun prostornine n-paralelotopa P v R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , katerega n + 1 vrhov je V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , je

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kjer je [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} vrstični vektor, ki ga tvori združitev V i {\displaystyle V_{i}} in 1. Dejansko se determinanta ne spremeni, če [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} odštejemo od [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0), pri čemer postavitev [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} na zadnje mesto spremeni le njegov znak.

Podobno je prostornina katerega koli n-področja, ki si deli n konvergentnih robov paralelotopa, enaka 1/n! prostornine tega paralelotopa.

Beseda se pojavi kot parallelipipedon v prevodu Evklidovih Elementov sira Henryja Billingsleyja iz leta 1570. Pierre Hérigone je v svoji izdaji Cursus mathematicus iz leta 1644 uporabil zapis parallelepipedum. Oxfordski angleški slovar navaja današnji parallelepiped, ki se je prvič pojavil v delu Chorea gigantum Walterja Charletona (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) navaja parallelopiped in parallelopipedon, kar kaže na vpliv združitvene oblike parallelo-, kot da bi bil drugi element pipedon in ne epipedon. Noah Webster (1806) vključuje zapis parallelopiped. V izdaji Oxford English Dictionary iz leta 1989 sta parallelopiped (in parallelipiped) izrecno opisana kot nepravilni obliki, vendar sta v izdaji iz leta 2004 navedena brez komentarja, navedena pa je le izgovorjava s poudarkom na petem zlogu pi (/paɪ/).

Odmik od tradicionalne izgovarjave je skril različno razdelitev, ki jo nakazujejo grške korenine, saj se epi- ("na") in pedon ("zemlja") združita v epiped, ravna "ploskev". Tako so ploskve paralelepipeda ravninske, nasprotne ploskve pa so vzporedne.