Paralelepiped (paralelopiped): definicija, lastnosti in primeri

Paralelepiped: jasna definicija, ključne lastnosti, tipi in praktični primeri uporabe v geometriji z ilustracijami in formulami.

Avtor: Leandro Alegsa

V geometriji je paralelepiped tridimenzionalni lik, ki ga tvori šest paralelogramov (včasih se v tem pomenu uporablja tudi izraz romboid). Po analogiji se nanaša na paralelogram tako kot kocka na kvadrat ali kuboid na pravokotnik. V evklidski geometriji njegova definicija zajema vse štiri pojme (tj. vzporednik, paralelogram, kocka in kvadrat). V tem kontekstu afine geometrije, v kateri se koti ne razlikujejo, njegova definicija dopušča le paralelograme in paralelepipede. Tri enakovredne definicije vzporednika so

  • polieder s šestimi stranicami (heksaeder), od katerih je vsaka paralelogram,
  • heksaeder s tremi pari vzporednih ploskev in
  • prizma, katere osnova je paralelogram.

Pravokotni kuboid (šest pravokotnih sten), kocka (šest kvadratnih sten) in romboeder (šest rombičnih sten) so posebni primeri paralelepipeda.

Osnovne lastnosti

  • Ploskve, robovi in oglišča: paralelepiped ima 6 ploskev, 12 robov in 8 oglišč.
  • Vzporednost in enakost: nasprotne ploskve so vzporedne in medsebojno enake (kongruentne). Nasprotni robovi so vzporedni in enaki dolžine.
  • Paralelogramne ploskve: vsaka ploskev je paralelogram; to pomeni, da se diagonali vsake ploskve medsebojno prepolovita.
  • Sredica in simetrija: paralelepiped je centro-simetričen (ima središče simetrije v presečišču telesnih diagonal). Telesne diagonale se sekajo v eni točki in se pri tem medsebojno prepolovijo.
  • Konveksnost in Eulerjeva zveza: gre za konveksni poliéder, pri katerem velja Eulerjeva zveza V - E + F = 2 (8 - 12 + 6 = 2).
  • Affine struktura: vsak paralelepiped je afina slika kocke — z afino transformacijo lahko kocko pretvorimo v poljuben paralelepiped.

Algebrska in vektorska predstavitev

Paralelepiped lahko opišemo z vektorji. Naj bo izbranega enega oglišča tri izhajajoče stranice predstavljene z vektorji a, b in c. Potem je paralelepiped množica točk

P = { p0 + x a + y b + z c | 0 ≤ x, y, z ≤ 1 }, kjer je p0 poljuben izhodni kot.

Volumen paralelepipeda je absolutna vrednost skalarnega trojnega produkta:

V = |a · (b × c)|

Alternativno velja tudi formula V = A_base · h, torej volumen je površina osnovne ploskve krat višina, merjena pravokotno na to ploskev.

Ploščina obrazov: ploščina ploskve, ki jo tvorita vektorja a in b, je |a × b|.

Dolžina telesne diagonale

Telesna diagonalna vektor, ki povezuje nasprotni kotiček paralelepipeda, je d = a + b + c (če izhodišče vzamemo v oglišču, iz katerega izhajajo a, b, c). Dolžina diagonale d je torej

|d| = sqrt( |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a·b + b·c + c·a) ).

Vrste paralelepipedov

  • Pravokotni paralelepiped (kuboid): robovi so medsebojno pravokotni; ploskve so pravokotniki.
  • Kocka: vse robne dolžine so enake in robovi medsebojno pravokotni — posebni primer pravokotnega paralelepipeda.
  • Romboeder: vse ploskve so rombi (enake dolžine robov, a poševni koti).
  • Poševni (obli) paralelepiped: splošni primer, kjer robovi niso nujno pravokotni.

Primeri in izračuni

Primer 1 — pravokotni primer:

Naj bodo a = (1,0,0), b = (0,2,0), c = (0,0,3). Potem je volumen V = |a · (b × c)| = |(1,0,0) · (0,6,0)| = 6. Telesna diagonala je d = (1,2,3) in njena dolžina |d| = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14).

Primer 2 — splošni primer z vektorji:

Če so a, b, c poljubni vektorji v R^3, izračunamo volumen z determinantno oziroma skalarno-trojim produktom. To je še posebej uporabno pri integracijah in pri oceni prostornin pri transformacijah koordinat.

Uporaba in opombe

  • Paralelepipedi se pojavljajo v računski geometriji, krystalografiji (kot enote mrež), v računanju prostornin pri afinih transformacijah in pri analizi napetosti v trdnih telesih.
  • Ker so ploskve paralelogrami, veljajo za paralelepiped številne lastnosti iz geometrije paralelogramov (npr. diagonali se prepolovita na ploskvi, nasprotne kote ploskev so enaki itd.).

Če želite, lahko dodam risbo (shemo) paralelepipeda, primer izračuna za poljubne vektorje ali kratek vodnik, kako parametizirati površine ploskev za integrale.

Lastnosti

Katerega koli od treh parov vzporednih ploskev lahko obravnavamo kot osnovno ploskev prizme. Paralelepiped ima tri sklope štirih vzporednih robov; robovi znotraj vsakega sklopa so enako dolgi.

Vzporedniki so rezultat linearnih transformacij kocke (za nedegenerirane primere: bijektivne linearne transformacije).

Ker ima vsaka stran točkovno simetrijo, je paralelepiped zonoeder. Tudi celoten paralelepiped ima točkovno simetrijo Ci (glej tudi triklin). Vsaka stran je, gledano od zunaj, zrcalna slika nasprotne strani. Stranice so na splošno kiralne, vendar paralelnolepiped ni.

S skladnimi kopijami kateregakoli paralelepipeda je mogoča tesselacija, ki zapolnjuje prostor.

Zvezek

Prostornina paralelepipeda je zmnožek površine njegove osnove A in višine h. Osnova je katera koli od šestih ploskev paralelepipeda. Višina je pravokotna razdalja med osnovo in nasprotno stranico.

Alternativna metoda definira vektorje a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) in c = (c1, c2, c3), ki predstavljajo tri robove, ki se stikajo v enem vrhu. Prostornina paralelepipeda je potem enaka absolutni vrednosti skalarnega trojnega produkta a - (b × c):

V = | a ( b × c ) | = | b ( c × a ) | = | c ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|} {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

To je res, ker če izberemo b in c kot robova podlage, je površina podlage po definiciji presečnega produkta (glej geometrijski pomen presečnega produkta),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \desno|\levo|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\levo|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \desno|,} {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

kjer je θ kot med točkama b in c, višina pa je

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\levo|\mathbf {a} \desno|\cos \alpha ,} {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

kjer je α notranji kot med a in h.

Iz slike lahko sklepamo, da je velikost α omejena na 0° ≤ α < 90°. Nasprotno pa lahko vektor b × c tvori z a notranji kot β večji od 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Ker je b × c vzporeden s točko h, je vrednost β bodisi β = α bodisi β = 180° - α.

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,} {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

in .

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\levo|\mathbf {a} \desno|\levo|\cos \beta \desno|. } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.}

Ugotavljamo, da

V = A h = | a | | b × c | | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\levo|\mathbf {a} \desno|\levo|\mathbf {b} \krat \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,} {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

ki je po definiciji skalarnega (ali točkovnega) produkta enak absolutni vrednosti a - (b × c), Q.E.D.

Slednji izraz je prav tako enakovreden absolutni vrednosti determinante tridimenzionalne matrike, sestavljene iz vrstic (ali stolpcev) a, b in c:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. } {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

To se ugotovi s Cramerjevim pravilom za tri zmanjšane dvodimenzionalne matrike, dobljene iz izvirnika.

Če so a, b in c dolžine robov paralelepipeda, α, β in γ pa notranji koti med robovi, je prostornina

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. } {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.}

Ustrezni tetraeder

Prostornina vsakega tetraedra, ki ima tri konvergentne robove paralelne ploskve, je enaka eni šestini prostornine paralelne ploskve (glej dokaz).

Vektorji, ki določajo paralelepiped.Zoom
Vektorji, ki določajo paralelepiped.

Posebni primeri

Pri paralelnolepipedih s simetrično ravnino obstajata dva primera:

  • ima štiri pravokotne ploskve
  • ima dve rombični ploskvi, od drugih ploskev pa sta dve sosednji enaki in drugi dve prav tako (oba para sta si zrcalna slika).

Glej tudi monoklinski.

Pravokotni kuboid, imenovan tudi pravokotni paralelepiped ali včasih preprosto kuboid, je paralelepiped, katerega vse stene so pravokotne; kocka je kuboid s kvadratnimi stenami.

Romboeder je vzporednik z vsemi rombičnimi stranicami; trigonalni trapezoeder je romboeder s skladnimi rombičnimi stranicami.

Pravokotni paralelepipedZoom
Pravokotni paralelepiped

Popolni paralelnelepiped

Popoln paralelnolepiped je paralelnolepiped s celimi dolžinami robov, čelnih diagonal in prostorskih diagonal. Leta 2009 je bilo dokazano, da obstaja več deset popolnih paralelepipedov, kar je bil odgovor na odprto vprašanje Richarda Guya. En primer ima robove 271, 106 in 103, manjše čelne diagonale 101, 266 in 255, večje čelne diagonale 183, 312 in 323 ter prostorske diagonale 374, 300, 278 in 272.

Poznamo nekaj popolnih paralelopipedov z dvema pravokotnima stranicama. Ni pa znano, ali obstajajo tudi taki, ki imajo vse ploskve pravokotne; tak primer bi imenovali popoln kuboid.

Paralelotopa

Coxeter je posplošitev paralelepipeda v višjih dimenzijah poimenoval paralelotopa.

V n-razsežnem prostoru se imenuje n-razsežni paralelotop ali preprosto n-paralelotop. Tako je paralelogram 2-paralelotopa, paralelopiped pa 3-paralelotopa.

Na splošno ima paralelotop ali voronojev paralelotop vzporedne in skladne nasprotne ploskve. Tako je 2-paralelotop paralelogon, ki lahko vključuje tudi nekatere šestkotnike, 3-paralelogon pa je paraleloeder, ki vključuje 5 vrst poliedrov.

Diagonale n-paralelotopa se sekajo v eni točki in so s to točko presekane. Inverzija v tej točki pusti n-paralelotop nespremenjen. Glej tudi fiksne točke izometričnih grup v evklidskem prostoru.

Robovi, ki izhajajo iz enega vrhnjega dela k-paralelotopa, tvorijo k-okvir ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} vektorskega prostora, paralelotop pa je mogoče obnoviti iz teh vektorjev z linearnimi kombinacijami vektorjev z utežmi med 0 in 1.

Obseg n-paralelotopa, vgrajenega v R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, kjer m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, {\displaystyle m\geq n}lahko izračunamo s pomočjo Gramove determinante. Druga možnost je, da je prostornina norma zunanjega produkta vektorjev:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. } {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}

Če je m = n, je to absolutna vrednost determinante n vektorjev.

Druga formula za izračun prostornine n-paralelotopa P v R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, katerega n + 1 vrhov je V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}, je

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,} {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

kjer je [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}{\displaystyle [V_{i}\ 1]} vrstični vektor, ki ga tvori združitev V i {\displaystyle V_{i}}{\displaystyle V_{i}} in 1. Dejansko se determinanta ne spremeni, če [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} {\displaystyle [V_{0}\ 1]}odštejemo od [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} {\displaystyle [V_{i}\ 1]}(i > 0), pri čemer postavitev [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} na {\displaystyle [V_{0}\ 1]}zadnje mesto spremeni le njegov znak.

Podobno je prostornina katerega koli n-področja, ki si deli n konvergentnih robov paralelotopa, enaka 1/n! prostornine tega paralelotopa.

Leksikografija

Beseda se pojavi kot parallelipipedon v prevodu Evklidovih Elementov sira Henryja Billingsleyja iz leta 1570. Pierre Hérigone je v svoji izdaji Cursus mathematicus iz leta 1644 uporabil zapis parallelepipedum. Oxfordski angleški slovar navaja današnji parallelepiped, ki se je prvič pojavil v delu Chorea gigantum Walterja Charletona (1663).

Charles Hutton's Dictionary (1795) navaja parallelopiped in parallelopipedon, kar kaže na vpliv združitvene oblike parallelo-, kot da bi bil drugi element pipedon in ne epipedon. Noah Webster (1806) vključuje zapis parallelopiped. V izdaji Oxford English Dictionary iz leta 1989 sta parallelopiped (in parallelipiped) izrecno opisana kot nepravilni obliki, vendar sta v izdaji iz leta 2004 navedena brez komentarja, navedena pa je le izgovorjava s poudarkom na petem zlogu pi (/paɪ/).

Odmik od tradicionalne izgovarjave je skril različno razdelitev, ki jo nakazujejo grške korenine, saj se epi- ("na") in pedon ("zemlja") združita v epiped, ravna "ploskev". Tako so ploskve paralelepipeda ravninske, nasprotne ploskve pa so vzporedne.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je paralelepiped?


O: Paralelepiped je tridimenzionalni lik, ki ga tvori šest paralelogramov.

V: Kateri drug izraz se včasih uporablja za vzporednik?


O: Včasih se uporablja tudi izraz "romboid" z enakim pomenom kot izraz "paralelopiped".

V: Kako se vzporednik nanaša na paralelogram?


O: Paralelepiped se na paralelogram nanaša na enak način kot kocka na kvadrat ali kuboid na pravokotnik.

V: Ali definicija vzporednika v evklidski geometriji vključuje vse štiri sorodne pojme?


O: Da, v evklidski geometriji definicija vzporednika vključuje vse štiri sorodne pojme: vzporednik, paralelogram, kocka in kvadrat.

V: Kaj je kontekst afine geometrije?


O: V kontekstu afine geometrije se koti ne razlikujejo.

V: Katere oblike so v kontekstu afine geometrije vključene v definicijo vzporednika?


O: V afini geometriji definicija paralelepipeda dopušča le paralelograme in paralelepipede.

V: Katere so tri enakovredne definicije paralelepipeda?


O: Tri enakovredne definicije paralelepipeda so: polieder s šestimi stranicami, od katerih je vsaka paralelogram; heksaeder s tremi pari vzporednih stranic; in prizma, katere osnova je paralelogram.


Iskati
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3