Evklidska geometrija: definicija, osnovni aksiomi in zgodovina
Evklidska geometrija je sistem v matematiki. Ljudje menijo, da ga je prvi opisal Evklid, zato nosi njegovo ime. Prvič jo je opisal v svojem učbeniku Elementi. Knjiga je bila prva sistematična razprava o geometriji, kot so jo poznali takrat. Evklid v njej najprej postavi nekaj aksiomov. Ti so osnova za kasnejše delo. So intuitivno jasni. Na podlagi teh aksiomov je mogoče dokazati druge trditve.
V 19. stoletju so odkrili druge oblike geometrije. To je neevklidska geometrija. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai in Nikolaj Ivanovič Lobačevski so bili nekateri, ki so razvili takšne geometrije. Te zelo pogosto ne uporabljajo vzporednega postulata, temveč druge štiri aksiome.
Osnovna opredelitev in značilnosti
Evklidska geometrija na ravni predstavlja geometrijo ravnine in v trodimenzionalni različici geometrijo prostora, ki temelji na naboru osnovnih izjav (aksiomov in postulata). Gre za axiomsko-logični sistem: iz nekaj sprejetih osnovnih resnic z logičnimi dokazi izpeljemo druge trditve in geometrijske lastnosti, na primer lastnosti trikotnikov, krožnic, kotov in razdalj. Sistem je intuicijsko pregleden in je dolgo časa služil kot model za razumeti prostor okoli nas.
Evklidovi aksiomi in postulati
Evklid v Elementih ne loči vedno jasno med "aksiomi" in "postulati", zato je v zgodovinskih in sodobnih razlagah smiselno izpostaviti najpomembnejše Evklidove postuláte (poenostavljena različica):
- Postulat 1: Med dvema točkama lahko narišeš ravno črto.
- Postulat 2: Skoraj vsako daljico lahko neomejeno podaljšaš v ravno črto.
- Postulat 3: Za poljubno točko in poljubni dolžini lahko narišeš krog s točko kot središčem in dano dolžino kot radijem.
- Postulat 4: Vsi pravi koti so si enaki.
- Postulat 5 (vzporedni postulat): Če ravna črta seka dve ravni črti in notranji koti na eni strani skupaj tvorita manj kot dva prava kota, se ti dve črti, če jih podaljšamo, sekata na tej strani.
Poleg teh so še Evklidova tako imenovana skupna načenja (common notions), npr. "Če sta dva predmeta enaka tretjemu, sta med seboj enaka" ali "Celota je večja od dela". Ti splošni logični predpisi podpirajo geometrijske dokaze.
Neodvisnost in nadgradnje aksiomov
V 19. stoletju so matematični logiki in geometri ugotovili, da je peti postulat (vzporedni postulat) neodvisen od drugih Evklidovih aksiomov — to pomeni, da ga ni mogoče izpeljati iz preostalih. To je vodilo do ustvarjanja konsistentnih alternativnih sistemov, kjer peti postulat nadomestimo z drugim izhodiščem. V sodobni axiomatiki so Evklidove postopke in aksiome formalizirali in izpopolnili, na primer David Hilbert konec 19. stoletja, ki je pripravil strogo in celovito axiomatizacijo geometrije.
Nevklidske geometrije in njihov pomen
Namesto petega postulata lahko uvedemo različne zamenjave, s čimer dobimo glavne oblike neevklidske geometrije:
- Hiperbolična geometrija (npr. delo Lobačevskega, Bolyaija): prek vsake točke izven dane prave lahko speljemo vsaj dve različni ravni, ki so z njo vzporedni; vsota kotov v trikotniku je manjša od 180°.
- Eliptična geometrija (sorodno Riemannovi geometriji z pozitivno ukrivljenostjo): vzporednic ni; vsota kotov v trikotniku je večja od 180°.
Razvoj neevklidskih geometrij je pomenil temeljito spremembo pogleda na prostor in matematično resničnost. Pokazal je, da logično konsistentne geometrije obstajajo tudi, kadar opustimo nekaj "intuicij" iz vsakdanjega opazovanja. Modeli teh geometrij (npr. Poincaréjev disk ali Beltrami–Kleinov model za hiperbolično geometrijo) so dodatno potrdili njihovo doslednost glede na preostali matematični aparat.
Zgodovina in vpliv
Evklid in njegovi Elementi so imeli ogromen vpliv na matematiko, izobraževanje in razvoj znanstvene metode. Elementi so bili več stoletij osnovno gradivo za poučevanje geometrije. V 17. stoletju je Rene Descartes uvedel koordinatni pristop, s katerim se geometrija poveže z algebro — to je osnova analitične geometrije in računalniške grafike.
Vpliv se nadaljuje v moderni matematiki in fiziki: Riemannova in diferencialna geometrija sta bistvena za teorijo relativnosti, kjer prostor ni nujno evklidski. V praksi Evklidska geometrija še vedno ostaja uporaben model za vsakdanje meritve in inženirstvo, saj lokalno (pri majhnih razdaljah) prostor pogosto obnaša evklidsko.
Uporaba in izobraževanje
Evklidska geometrija je del osnovnošolskega in srednješolskega kurikuluma v večini držav, saj razvija prostorsko predstavo, sposobnost abstraktnega mišljenja in veščine matematičnega dokazovanja. Njena preprostost in vizualna narava jo naredi primerno za uvod v formalno razmišljanje in za praktične aplikacije v arhitekturi, gradbeništvu, geodeziji, računalniški grafiki in navigaciji.
Kratka ponazoritev znanih rezultatov
- Pitagorov izrek: v pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze vsota kvadratov obeh katet.
- Lastnosti podobnosti in kongruence trikotnikov.
- Razmerja med kotom, obsegom in površino kroga pri danem radiju.
Evklidska geometrija je torej tako klasičen kot tudi temeljni del matematične kulture: z njo se seznanimo zgodaj, hkrati pa je njena formalna analiza in primerjava z alternativami (neevklidskimi geometrijami) ena izmed pomembnih epoh v zgodovini matematike.
Aksiomi
Evklid izhaja iz naslednjih predpostavk. To so aksiomi in jih ni treba dokazovati.
- Dve točki lahko poveže ravna črta.
- Vsak odsek ravne črte lahko podaljšamo do neskončnosti, tako da postane ravna črta.
- Z odsekom ravne črte je mogoče narisati krog, tako da je ena končna točka odseka središče kroga, druga končna točka pa leži na krogu. Odsek postane polmer kroga.
- Vsi pravi koti so skladni
- Vzporedni postulat. Če se dve premici sekata s tretjo tako, da je vsota notranjih kotov na eni strani manjša od dveh pravih kotov, potem se morata premici neizogibno sekati na tej strani, če ju podaljšamo dovolj daleč.
Status
Evklidska geometrija je teorija prvega reda. Z njo je mogoče izreči in dokazati trditve, kot je Za vse trikotnike.... Izjave, kot so Za vse množice trikotnikov ..., so zunaj obsega teorije.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je evklidska geometrija?
O: Evklidska geometrija je sistem v matematiki, ki ga je Evklid prvič opisal v svojem učbeniku Elementi. Sestavlja ga nekaj aksiomov, ki so osnova za kasnejše delo, iz njih pa je mogoče dokazati druge trditve.
V: Kdo je napisal Elemente?
O: Evklid je napisal knjigo Elementi, ki je bila prva sistematična razprava o geometriji, kot je bila znana v tistem času.
V: Kateri so primeri neevklidskih geometrij?
O: Neevklidske geometrije so v 19. stoletju razvili Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai in Nikolaj Ivanovič Lobačevski. Te pogosto ne uporabljajo vzporednega postulata, temveč se opirajo na druge štiri aksiome.
V: O čem razpravljajo Elementi?
O: Elementi obravnavajo geometrijo, kot je bila znana v tistem času, in jo sistematično obravnavajo.
V: Koliko aksiomov ima evklidska geometrija?
O: Evklidska geometrija ima nekaj aksiomov, ki so osnova za kasnejše delo.
V: Kdo je razvil neevklidsko geometrijo?
O: Neevklidsko geometrijo so v 19. stoletju razvili Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai in Nikolaj Ivanovič Lobačevski.
V: Ali neevklidska geometrija uporablja vseh pet aksiomov ali samo štiri?
O: Neevklidska geometrija pogosto ne uporablja vzporednega postulata, ampak se zanaša na samo štiri od petih aksiomov.
