Vzporedni postulat
V geometriji je vzporedni postulat eden od aksiomov evklidske geometrije. Včasih se imenuje tudi Evklidov peti postulat, ker je peti postulat v Evklidovih Elementih.
Postulat pravi, da:
Če odsek presekate z dvema premicama in sta notranja kota, ki ju tvorita premici, manjša od 180°, se bosta premici sčasoma srečali, če ju boste dovolj podaljšali.
Področje geometrije, ki upošteva vse Evklidove aksiome, se imenuje evklidska geometrija. Geometrije, ki ne upoštevajo vseh Evklidovih aksiomov, se imenujejo neevklidska geometrija.
Če je vsota notranjih kotov α (alfa) in β (beta) manjša od 180°, se premici nekje sekata, če sta obe podaljšani do neskončnosti.
Zgodovina
Nekateri matematiki so menili, da je Evklidov peti postulat veliko daljši in bolj zapleten od ostalih štirih postulatov. Mnogi med njimi so menili, da ga je mogoče dokazati na podlagi drugih, preprostejših aksiomov. Nekateri matematiki so razglasili, da so ga dokazali iz preprostejših postulatov, vendar se je izkazalo, da so se vsi zmotili.
Playfairjev aksiom
Druga novejša trditev, znana kot Playfairjev aksiom, je podobna Evklidovemu petemu postulatu. Pravi, da:
Če imamo premico in točko, ki ni na tej premici, lahko skozi to točko narišemo le eno premico, ki se ne bo srečala z drugo premico.
Matematiki so ugotovili, da ta aksiom ni le podoben Evklidovemu petemu postulatu, ampak ima povsem enake posledice. Matematično se oba stavka imenujeta "enakovredna" stavka. Danes matematiki Playfairjev aksiom uporabljajo pogosteje kot prvotni Evklidov vzporedni postulat.
Neevklidska geometrija
Sčasoma so nekateri matematiki poskušali zgraditi nove geometrije brez uporabe aksioma. Ena od vrst neevklidske geometrije se imenuje eliptična geometrija. V eliptični geometriji je vzporedni postulat nadomeščen z aksiomom, ki pravi, da:
Če imamo premico in točko, ki ni na tej premici, ne moremo narisati premice skozi to točko, ki na koncu ne bi prečkala druge premice.
Matematiki so ugotovili, da so lahko, ko so Evklidov peti postulat nadomestili s tem aksiomom, še vedno dokazali številne druge Evklidove trditve. Elipsno geometrijo si lahko predstavljamo tako, da pomislimo na površino globusa. Na globusu se zdi, da so daljnovodne črte na ekvatorju vzporedne, vendar se vse stikajo na polih. Konec 19. stoletja se je pokazalo, da je eliptična geometrija dosledna. To je dokazalo, da Evklidov peti postulat ni neodvisen od drugih postulatov. Po tem so matematiki večinoma prenehali dokazovati peti postulat na podlagi drugih štirih postulatov. Namesto tega so mnogi matematiki začeli preučevati druge geometrije, ki ne sledijo Evklidovemu petemu postulatu.
Drug aksiom, s katerim matematiki včasih nadomestijo Evklidov peti aksiom, pravi:
Če imamo neko premico in točko, ki ne leži na tej premici, lahko skozi to točko narišemo vsaj dve premici, ki na koncu ne prečkata druge premice.
To se imenuje hiperbolična geometrija.
Druga geometrija preprosto odstrani Evklidov peti postulat in ga z ničemer ne nadomesti. To imenujemo nevtralna geometrija ali absolutna geometrija.
