Svetlobna ura

Svetlobna ura je preprost način za prikaz osnovne značilnosti posebne teorije relativnosti. Ura deluje tako, da se svetlobni blisk odbije od oddaljenega zrcala in s povratkom sproži drug svetlobni blisk, medtem pa se šteje, koliko bliskov se je na tej poti zgodilo. Enostavno je pokazati, da bi ljudje na Zemlji, ki bi s takšno uro opazovali vesoljsko ladjo, ki bi letela nad nami, videli, da ura tiktaka razmeroma počasi. Ta učinek se imenuje dilatacijačasa.

Preden preučimo svetlobno uro, si oglejmo še eno vrsto relativnosti. Predstavljajte si, da nekdo driblja s košarkarsko žogo v prtljažnem prostoru velikega tovornega letala. Košarkar se giblje v isti smeri kot reaktivno letalo. Drugi ljudje v letalu vidijo, da se košarkar premakne za meter ali dva, ko opravi en dribble. Med prvim in drugim odbojem žoge mine približno ena sekunda. Toda ob prvem odboju je bila košarkarska žoga nad Gibraltarjem, ob drugem odboju pa nad vodo bližje Španiji. Torej se je košarkarska žoga glede na Zemljo premaknila za 280 metrov.

Zdaj pa si oglejmo še nekoliko podobno vprašanje relativnega gibanja. Tokrat bomo razmišljali o tem, kaj vidijo ljudje, ki gledajo zvezde s severnega tečaja, ko nad njimi preleti zelo hitra vesoljska ladja. Z algebro in Pitagorovim izrekom lahko izračunamo, za koliko se upočasni čas na vesoljski ladji. Potrebujemo le še enačbo, ki povezuje razdaljo, d, hitrost potovanja, r, in čas, t. Enačba je:

d = rt

Hitrost svetlobe je konstantna, zato bomo to vrednost uporabili za dva problema. Hitrost svetlobe bomo imenovali c, saj jo znanstveniki običajno poimenujejo s to črko.

Uro naredimo tako, da na dno dolgega droga postavimo svetlobni izhod, na vrh droga namestimo ogledalo, na dno droga pa elektronski detektor svetlobe. Ura se zažene s kratkim zaprtjem stikala, ki pošlje en utrip svetlobe z dna droga na vrh droga, kjer se odbije nazaj na dno droga. Ko detektor svetlobe na dnu droga vidi utrip svetlobe, naredi dve stvari. Eno prišteje k števcu, ki je pritrjen nanj, in pošlje še en utrip svetlobe do ogledala. Ko se svetlobni utrip vrne na dno, se števec spremeni na dva in sproži se še en svetlobni utrip. Ker svetloba potuje zelo hitro (300 000 kilometrov na sekundo), bo svetlobna ura za vsako sekundo, ki jo izmeri običajna ura, "tiktaknila" zelo velikokrat.

Za lažjo matematiko bomo rekli, da je drog dolg pol kilometra. Če torej stojimo ob svetlobni uri, ki je postavljena poleg velikega teleskopa na severnem tečaju, bomo videli, da svetloba ob vsakem "tiktakanju" svetlobne ure prepotuje en kilometer. Ker je prepotovana razdalja d enaka hitrosti, pomnoženi s časom, zadevna hitrost pa je c, dobimo enačbo:

d = ct

in to enačbo lahko rešimo za t, da ugotovimo, koliko časa v sekundah traja vsak "tik".

1 km = 300.000 km/sekundo * t sekund

t sekund = 1 km/300.000 (km/sekundo) = 1/300.000 sekund = 0,00000333...3 sekund

Z drugimi besedami, vsak "tik" svetlobne ure bo trajal 0,00000333... 3 sekunde.

Če bi vesoljska ladja letela po ravni črti nad severnim tečajem z velikim delom hitrosti svetlobe in bi imela podobno uro, bi ljudje, ki bi opazovali njen prehod, videli, da se je zrcalo na vrhu tečaja premaknilo neposredno nad oddajanje svetlobe, zato bi svetloba potovala po črti, označeni h na diagramu, nato pa bi se po drugi hipotenuzi vrnila do podlage tečaja - ki bi se do zdaj že nekoliko oddaljila, saj se vesoljska ladja giblje tako hitro. Ugotovimo lahko, koliko časa bi po mnenju ljudi na Zemlji trajal en tiktak. Vemo, da ima pol vesoljske ladje dolžino a, saj gre za isto vrsto ure, kot jo uporabljajo ljudje na severnem polu. Želimo ugotoviti t' , čas, ki je potreben za eno tiktakanje ure na vesoljski ladji.

Vemo, da bo vesoljska ladja prepotovala 1/2 r t', ko bo svetlobni utrip usmerjen navzgor proti ogledalu, in še 1/2 r t', ko bo svetlobni utrip usmerjen navzdol proti bazi droga. Ta izračun nam da dolžino črte b v diagramu. Ker poznamo a, lahko s Pitagorovim izrekom izračunamo h:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Celotna razdalja, ki jo prepotuje svetloba, je torej 2 h ali d = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

Vemo tudi, da je hitrost svetlobe c konstantna. Ne glede na to, kdo jo izmeri, se izkaže, da je hitrost enaka. Zato lahko to dejstvo uporabimo za drug način izračuna, koliko časa potrebuje svetlobni blisk, da se premakne od podlage do vrha droga in nazaj:

t' = d/c

Z drugimi besedami, d = c t' .

Tako lahko zapišemo

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

ali

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

Da bi rešili zgornjo enačbo, moramo:

1. Kvadratni obe strani
2. Obe stranici delite s t' ²
3. Obe strani pomnožite s 4
4. Obe strani delimo s c2
5. Poenostavite c2 / c2
6. Od obeh strani odštejte r2/c2
7. Vzemite kvadratni koren iz obeh strani
8. Obe strani pomnožite s t'
9. Obe strani delite s √(1-r2/c2)

Z reševanjem zgornje enačbe ugotovimo, da:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2)

Čas med tiktakanji ure na severnem tečaju je 2a/c, zato lahko zapišemo:

t' = t/√(1-r2/c2)

Če je t = 1 sekunda, potem je t' = 1,1547 sekunde, če vesoljska ladja potuje s polovico svetlobne hitrosti.

Poskusite z različnimi hitrostmi potovanja na: http://www.1728.org/reltivty.htm

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je svetlobna ura?

V: Kaj je časovna dilatacija?

V: Kako lahko izračunamo, za koliko se upočasni čas na vesoljski ladji?

V: Kako deluje svetlobna ura?

V: Kakšno enačbo potrebujemo za ta izračun?

V: Kaj ima Pitagorov teorem opraviti s tem izračunom?

Išči po črki