Posebna teorija relativnosti

Osnove posebne teorije relativnosti

Predpostavimo, da se gibljete proti nečemu, kar se giblje proti vam. Če izmerite njegovo hitrost, se vam bo zdelo, da se giblje hitreje, kot če se ne bi gibali. Zdaj pa predpostavimo, da se oddaljujete od nečesa, kar se giblje proti vam. Če ponovno izmerite njegovo hitrost, se vam bo zdelo, da se premika počasneje. To je ideja "relativne hitrosti" - hitrost predmeta glede na vas.

Pred Albertom Einsteinom so znanstveniki poskušali izmeriti "relativno hitrost" svetlobe. To so počeli tako, da so merili hitrost svetlobe zvezd, ki doseže Zemljo. Pričakovali so, da bi morala biti svetloba z Zemlje, ki se giblje proti zvezdi, videti hitrejša, kot če se Zemlja od nje oddaljuje. Vendar so opazili, da je bila izmerjena hitrost svetlobe v vakuumu vedno enaka, ne glede na to, kdo je izvajal poskuse, kje so bili poskusi izvedeni in kakšno svetlobo zvezde so uporabili.

Einstein je dejal, da se to dogaja, ker je v dolžini in trajanju oziroma v tem, kako dolgo nekaj traja, nekaj nepričakovanega. Menil je, da se z gibanjem Zemlje skozi vesolje vsa merljiva trajanja zelo malo spremenijo. Vsaka ura, ki se uporablja za merjenje trajanja, se bo zmotila za točno toliko, da bo hitrost svetlobe ostala enaka. Če si predstavljamo "svetlobno uro", lahko bolje razumemo to izjemno dejstvo za primer enega samega svetlobnega vala.

Einstein je tudi dejal, da se z gibanjem Zemlje v vesolju vse merljive dolžine spremenijo (vedno tako malo). Vsaka naprava, ki meri dolžino, bo pokazala dolžino, ki se razlikuje za točno toliko, da bo hitrost svetlobe ostala enaka.

Najtežje je razumeti, da dogodki, ki se zdijo sočasni v enem okvirju, morda niso sočasni v drugem. To ima številne učinke, ki jih ni lahko zaznati ali razumeti. Ker je dolžina predmeta razdalja od glave do repa v istem trenutku, sledi, da če se dva opazovalca ne strinjata glede tega, kateri dogodki so istočasni, bo to vplivalo na njune meritve dolžine predmetov (včasih dramatično). Poleg tega, če se vrsta ur zdi sinhronizirana za mirujočega opazovalca, po pospeševanju do določene hitrosti pa se istemu opazovalcu zdi, da niso sinhronizirane, iz tega sledi, da so ure med pospeševanjem tekle z različnimi hitrostmi. Nekatere lahko tečejo celo nazaj. To razmišljanje vodi do splošne teorije relativnosti.

Že drugi znanstveniki pred Einsteinom so pisali o svetlobi, za katero se je zdelo, da gre enako hitro ne glede na to, kako jo opazujemo. Einsteinova teorija je bila tako revolucionarna zato, ker meni, da je merjenje hitrosti svetlobe po definiciji konstantno, z drugimi besedami, da gre za naravni zakon. To ima izjemne posledice, da se meritve, povezane s hitrostjo, dolžina in trajanje, spremenijo, da bi se temu prilagodile.

Lorentzeve transformacije

Matematična osnova posebne teorije relativnosti so Lorentzeve transformacije, ki matematično opisujejo pogled na prostor in čas za dva opazovalca, ki se gibljeta drug glede na drugega, vendar ne doživljata pospeška.

Za opredelitev transformacij uporabljamo kartezični koordinatni sistem za matematični opis časa in prostora "dogodkov".

Vsak opazovalec lahko dogodek opiše kot položaj nečesa v prostoru ob določenem času s koordinatami (x,y,z,t).

Lokacija dogodka je opredeljena v prvih treh koordinatah (x,y,z) glede na poljubno središče (0,0,0), tako da je (3,3,3) diagonala, ki poteka po 3 enote razdalje (npr. metre ali milje) v vsako smer.

Čas dogodka je opisan s četrto koordinato t glede na poljubno (0) točko v času v neki časovni enoti (npr. sekundah, urah ali letih).

Naj obstaja opazovalec K, ki s časovno koordinato t opisuje, kdaj se dogodki zgodijo, s prostorskimi koordinatami x, y in z pa opisuje, kje se dogodki zgodijo. S tem matematično opredelimo prvega opazovalca, katerega "zorni kot" bo naša prva referenca.

Določimo, da je čas dogodka določen: s časom opazovanja t_{(opazovano) (}recimo danes ob 12. uri), zmanjšanim za čas, ki je bil potreben, da je opazovanje prispelo do opazovalca.

To lahko izračunamo kot razdaljo od opazovalca do dogodka d_{(opazovanega)} (recimo, da je dogodek na zvezdi, ki je oddaljena 1 svetlobno leto, zato svetloba potrebuje 1 leto, da doseže opazovalca), deljeno s c, hitrostjo svetlobe (več milijonov milj na uro), ki je po naši definiciji enaka za vse opazovalce.

To je pravilno, saj razdalja, deljena s hitrostjo, pomeni čas, ki je potreben za premagovanje te razdalje s to hitrostjo (npr. 30 milj, deljeno z 10 mil na uro: dobimo 3 ure, ker če 3 ure vozimo s hitrostjo 10 milj na uro, dosežemo 30 milj). Tako dobimo:

t = d / c {\displaystyle t=d/c}

S tem matematično opredelimo, kaj kateri koli "čas" pomeni za katerega koli opazovalca.

Po teh opredelitvah naj obstaja še en opazovalec K', ki je

• ki se giblje vzdolž osi x točke K s hitrostjo v,
• ima prostorski koordinatni sistem x' , y' in z' ,

kjer os x' sovpada z osjo x ter z osema y' in z' - "vedno je vzporedna" z osema y in z.

To pomeni, da ko K' poda lokacijo, kot je (3,1,2), je x (ki je v tem primeru 3) isto mesto, o katerem bi govoril K, prvi opazovalec, vendar sta 1 na osi y ali 2 na osi z le vzporedna z neko lokacijo v koordinatnem sistemu opazovalca K', in

• pri čemer K in K' sovpadata pri t = t' = 0

To pomeni, da je koordinata (0,0,0,0,0) isti dogodek za oba opazovalca.

Z drugimi besedami, oba opazovalca imata (vsaj) en čas in lokacijo, s katerima se strinjata, to sta lokacija in čas nič.

Lorentzeve transformacije so

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

y ′ = y {\displaystyle y'=y} in

z ′ = z {\displaystyle z'=z}.

Opredelite dogodek, ki ima prostorsko-časovne koordinate (t,x,y,z) v sistemu S in (t′,x′,y′,z′) v referenčnem okviru, ki se giblje s hitrostjo v glede na ta okvir, S′. Lorentzova transformacija določa, da sta ti koordinati povezani na naslednji način: Lorentzev faktor je, c je hitrost svetlobe v vakuumu, hitrost v v S′ pa je vzporedna z osjo x. Zaradi enostavnosti sta koordinati y in z nespremenjeni; spremenjeni sta le koordinati x in t. Te Lorentzeve transformacije tvorijo enoparametrsko skupino linearnih preslikav, pri čemer se ta parameter imenuje hitrost.

Reševanje zgornjih štirih enačb transformacije za neprimirane koordinate daje inverzno Lorentzovo transformacijo:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Če to inverzno Lorentzovo transformacijo ujemamo z Lorentzovo transformacijo iz osnovnega sistema v neobremenjeni sistem, se neobremenjeni okvir giblje s hitrostjo v′ = -v, izmerjeno v osnovnem sistemu.

Os x ni nič posebnega. Transformacija se lahko uporablja na osi y ali z ali pa v kateri koli smeri, kar lahko storimo s smermi, ki so vzporedne z gibanjem (ki so popačene s faktorjem γ) in pravokotne; za podrobnosti glej članek Lorentzeva transformacija.

Količina, ki je invariantna pri Lorentzovih transformacijah, je znana kot Lorentzov skalar.

Lorentzovo transformacijo in njeno obratno transformacijo zapišemo s koordinatnimi razlikami, pri čemer ima en dogodek koordinate (x1, t1) in (x′1, t′1), drugi dogodek ima koordinate (x2, t2) in (x′2, t′2), razlike pa so opredeljene kot

Enačba 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ , \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . }

Enačba 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ , \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . }

dobimo

Enačba 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . }

Enačba 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . }

Če namesto razlik vzamemo diferenciale, dobimo

Enačba 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ } d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \levo(dt-v\ dx/c^{2}\desno)\ . }

Enačba 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . }

Masa, energija in navor

V posebni teoriji relativnosti sta navor p {\displaystyle p} in skupna energija E {\displaystyle E} objekta kot funkcija njegove mase m {\displaystyle m}

p = m v 1 - v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

in .

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Pogosta napaka (tudi v nekaterih knjigah) je, da se ta enačba prepiše z uporabo "relativistične mase" (v smeri gibanja) m r = m 1 - v 2 c 2 {\displaystyle m_{r}={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} . Razlog, zakaj je to napačno, je, da svetloba na primer nima mase, ima pa energijo. Če uporabimo to formulo, bi foton (delec svetlobe) imel maso, kar je glede na poskuse nepravilno.

V posebni teoriji relativnosti so masa, skupna energija in gibalna moč predmeta povezane z enačbo

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}} .

Za predmet v mirovanju je p = 0 {\displaystyle p=0}, zato se zgornja enačba poenostavi na E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} . Zato ima masivni predmet v mirovanju še vedno energijo. To energijo imenujemo energija mirovanja in jo označimo z E 0 {\displaystyle E_{0}} :

E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}} .

Zgodovina

Potreba po posebni teoriji relativnosti se je pojavila zaradi Maxwellovih enačb elektromagnetizma, ki so bile objavljene leta 1865. Kasneje so ugotovili, da morajo elektromagnetni valovi (kot je svetloba) gibati s konstantno hitrostjo (tj. s svetlobno hitrostjo).

Da bi bile enačbe Jamesa Clerka Maxwella skladne z astronomskimi opazovanji^{[1] in} Newtonovo fiziko,^[2] je Maxwell leta 1877 predlagal, da svetloba potuje po etru, ki je povsod v vesolju.

Leta 1887 so z znamenitim poskusom Michelsona in Morleyja poskušali zaznati "etrski veter", ki nastaja zaradi gibanja Zemlje. ^[3] Nični rezultati tega poskusa so fizike zmedli in postavili pod vprašaj teorijo o etru.

Leta 1895 sta Lorentz in Fitzgerald ugotovila, da je ničelni rezultat poskusa Michelsona in Morleyja mogoče razložiti z etrskim vetrom, ki je poskus skrčil v smeri gibanja etra. Ta učinek se imenuje Lorentzova kontrakcija in je (brez etra) posledica posebne teorije relativnosti.

Leta 1899 je Lorentz prvič objavil Lorentzove enačbe. Čeprav niso bile objavljene prvič, so bile prvič uporabljene za razlago ničelnega rezultata Michelsona in Morleyja, saj je Lorentzova kontrakcija njihova posledica.

Leta 1900 je imel Poincaré slavni govor, v katerem je razmišljal o možnosti, da bi za razlago Michelsonovega-Morleyjevega poskusa potrebovali "novo fiziko".

Leta 1904 je Lorentz pokazal, da lahko električno in magnetno polje z Lorentzovimi transformacijami spremenimo eno v drugo.

Leta 1905 je Einstein v reviji Annalen der Physik objavil članek "On the Electrodynamics of Moving Bodies", v katerem je predstavil posebno teorijo relativnosti. V tem članku je predstavil postulate relativnosti, iz njih izpeljal Lorentzeve transformacije in (ne da bi poznal Lorentzev članek iz leta 1904) pokazal, kako Lorentzeve transformacije vplivajo na električno in magnetno polje.

Kasneje, leta 1905, je Einstein objavil še en članek, v katerem je predstavil E = mc2.

Leta 1908 je Max Planck potrdil Einsteinovo teorijo in jo poimenoval "relativnost". Istega leta je Hermann Minkowski imel znameniti govor o prostoru in času, v katerem je pokazal, da je teorija relativnosti samoumevna, in jo še dodatno razvil. Ti dogodki so fizikalno skupnost prisilili, da je relativnostno teorijo začela jemati resno. Relativnost je bila nato vedno bolj sprejeta.

Leta 1912 sta bila Einstein in Lorentz nominirana za Nobelovo nagrado za fiziko zaradi njunega pionirskega dela na področju relativnosti. Žal je bila relativnost takrat tako sporna in je ostala sporna tako dolgo, da Nobelova nagrada zanjo nikoli ni bila podeljena.

Eksperimentalne potrditve

• Michelsonov in Morleyjev poskus, pri katerem ni bilo mogoče zaznati razlike v hitrosti svetlobe glede na smer njenega gibanja.
• Fizeaujev poskus, pri katerem je bilo ugotovljeno, da lomni količnik svetlobe v gibajoči se vodi ne more biti manjši od 1. Opazovani rezultati so razloženi z relativističnim pravilom za seštevanje hitrosti.
• Energija in gibalna moč svetlobe sta odvisni od enačbe E = p c {\displaystyle E=pc} . (V newtonski fiziki naj bi bilo to E = 1 2 p c {\displaystyle E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}}\end{matrix}}pc}.
• Prečni Dopplerjev učinek, pri katerem se svetloba, ki jo oddaja hitro premikajoče se telo, zaradi časovne dilatacije rdeče premakne.
• Prisotnost mionov, ki nastajajo v zgornjih plasteh atmosfere na površju Zemlje. Težava je v tem, da mioni potrebujejo veliko več časa, kot je razpolovna doba mionov, da pridejo na površje Zemlje tudi pri skoraj svetlobni hitrosti. Njihovo prisotnost lahko obravnavamo kot posledico časovne dilatacije (z našega vidika) ali krčenja dolžine razdalje do zemeljske površine (z vidika mionov).
• Pospeševalnikov delcev ni mogoče zgraditi brez upoštevanja relativistične fizike.

Sorodne strani

• Splošna relativnost