Magnituda (velikost v matematiki): definicija, pomen in primeri

Velikost matematičnega objekta je njegova velikost: lastnost, po kateri je lahko večji ali manjši od drugih objektov iste vrste.

V matematičnem jeziku bi rekli: to je razvrstitev razreda predmetov, ki mu pripada.

Stari Grki so razlikovali med več vrstami velikosti, med drugim:

• (pozitivni) deleži
• odseki (urejeni po dolžini)
• Podatki o letalih (razvrščeni po površini)
• Trdne snovi (razvrščene po prostornini)
• Koti (razvrščeni po kotni velikosti)

Dokazali so, da prva dva ne moreta biti enaka ali celo izomorfna sistema velikosti. Negativne velikosti se jim niso zdele smiselne, zato se magnituda še vedno uporablja predvsem v kontekstih, v katerih je nič bodisi najmanjša velikost bodisi manjša od vseh možnih velikosti.

Definicija v sodobni matematiki

V sodobni matematiki je pojem magnituda (velikost) pogosto opredeljen kot funkcija, ki elementom neke množice dodeli nenegativno število, ki odraža njihovo "velikost" ali "obseg". Takšne funkcije imajo običajno eno ali več od naslednjih lastnosti:

• Monotoničnost: če je objekt A "manjši" od objekta B, potem je njegova magnituda manjša ali enaka magnitudi B.
• Normalizacija: najmanjši element(e) ima magnitudo 0 (če obstaja) ali pa se definira druga referenčna vrednost.
• Additivnost ali sigma-additivnost: pri merah in volumenih velja, da je velikost združene množice enaka vsoti velikosti delov (po terciarnih pogojih).

Glavne vrste magnitud – primeri

• Dolžina: pri daljinah in segmentih; na realni premici je dolžina intervala [a,b] enaka b−a.
• Površina: pri ravninskih likih; na primer površina pravokotnika s stranicama a in b je a·b.
• Prostornina: pri trdnih telesih; npr. prostornina kocke z robom a je a^3.
• Kotna velikost: pri kotih (izražena v stopinjah ali radianih).
• Kardinalnost: pri množicah, kjer magnituda meri število elementov (za končne množice) ali tip velikosti (npr. število reševnih množic, alef-nadpisi za neskončne množice).
• Norma v vektorskih prostorih: norma ||v|| vektora v (npr. evklidska norma ||v|| = sqrt(sum v_i^2)) meri "velikost" vektorskega elementa.
• Meritve (measure): v teoriji mer magnituda množice pomeni merljivo velikost in zadovoljuje sigma-additivnost.
• Absolutna vrednost: pri realnih številih |x| je osnovna magnituda števila.

Zgodovinski kontekst in pomembne lastnosti

Stari Grki so pri študiju geometrije in deležev razvili koncept velikosti, vendar so naleteli na težave, ko so odkrili nekomensurabilnost — primer diagonale kvadrata, katere razmerje do stranice ni racionalno število. Ta ugotovitev je spodkopala idejo, da so vse dolžine večkratniki neke osnovne enote, in vodila v razvoj realnih števil in teorije mer.

Iz grške tradicije je izhajalo tudi omejevanje na pozitivne velikosti (magnituda kot nenegativna količina). V sodobni matematiki so se pojavljali tudi razširitve, ki dopuščajo "signirane" velikosti (negativne vrednosti) v kontekstih, kjer ima smer pomen — npr. sistemi s podpisi pri večdimenzionalnih količinah ali pri integriranju funkcij, kjer so pozitivne in negativne prispevke mogoče sešteti.

Sodobne razširitve in natančnost pojmov

V današnji matematiki je pomembno razlikovati med različnimi koncepti, ki vse merijo "velikost":

• Magnituda kot metrika ali norma: meri razdaljo ali velikost posameznega elementa (npr. evklidska norma), pogosto z lastnostmi pozitivnosti, homogenosti in trikotniške neenakosti.
• Merila (measures): dodelijo množicam številske vrednosti in so osnova za verjetnost, dolžino, površino in prostornino; zahtevajo strožje axiomatske lastnosti (sigma-additivnost ipd.).
• Kardinalna velikost: meri "števčnost" množic in nima nujno povezave z geometrijskimi merami (npr. neskončne množice iste kardinalnosti).

Praktični primeri

• Če imate dve palici dolžin 2 m in 3 m, magnituda po dolžini je očitna: 2 < 3.
• Vektorska magnituda: za vektor v = (3,4) je evklidska norma ||v|| = 5.
• Mera verjetnosti: množici izida A v prostoru izidov dodelimo verjetnost P(A) ∈ [0,1], kar je magnituda dogodka glede na verjetnostni model.
• Kardinalnost: množica {1,2,3} ima kardinalnost 3, množica naravnih števil pa šteje alef-n nič (številčno neskončnost z oznako ℵ0).

Zaključek

Pojem magnituda ali velikost je v matematiki temeljna in se pojavlja v različnih oblikah — od preprostih dolžin in površin do abstraktnih mer, norm in kardinalnosti. Pomembno je izbrati ustrezno definicijo magnitud glede na kontekst, saj se lastnosti (npr. additivnost, monotoničnost ali dovoljenje negativnih vrednosti) razlikujejo med disciplinami.

Vprašanja in odgovori

V: Kakšna je definicija magnitude?

V: Katere vrste velikosti so razlikovali stari Grki?

V: Ali so menili, da so negativne velikosti smiselne?

V: Kako danes še vedno uporabljamo predvsem magnitude?

V: Ali so stari Grki dokazali, da dve vrsti velikosti ne moreta biti enaki?

V: Česa niso upoštevali, ko so razpravljali o različnih vrstah magnitud?

V: Na kakšen način so stari Grki urejali različne vrste magnitud?

Išči po črki