Standardna napaka povprečja: definicija, pomen in izračun

Eden od načinov za ugotavljanje standardne napake povprečja je veliko število vzorcev. Najprej ugotovimo povprečje za vsak vzorec. Nato ugotovimo povprečje in standardni odklon teh vzorčnih povprečij. Standardni odklon vseh vzorčnih povprečij je standardna napaka povprečja. To je lahko veliko dela. Včasih je prezahtevno ali pa stane preveč denarja, da bi imeli veliko vzorcev.

Drug način za ugotavljanje standardne napake povprečja je uporaba enačbe, ki potrebuje samo en vzorec. Standardno napako povprečja običajno ocenimo s standardnim odklonom za vzorec iz celotne skupine (standardni odklon vzorca), deljenim s kvadratnim korenom velikosti vzorca.

S E x Ž = s n {\displaystyle SE_{\bar {x}} ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}

kjer je

s je vzorčni standardni odklon (tj. na vzorcu temelječa ocena standardnega odklona populacije) in

n je število meritev v vzorcu.

Kako velik mora biti vzorec, da bo ocena standardne napake povprečja blizu dejanski standardni napaki povprečja za celotno skupino? V vzorcu mora biti vsaj šest meritev. Potem bo standardna napaka povprečja za vzorec znotraj 5 % standardne napake povprečja, če bi bila izmerjena celotna skupina.

Če je število meritev 5 % ali več celotne skupine, je treba uporabiti drugo enačbo:

Če ima vzorec manj kot 20 meritev, je treba uporabiti posebne enačbe.

Včasih vzorec prihaja iz enega kraja, čeprav je celotna skupina razpršena. Prav tako je včasih vzorec lahko narejen v kratkem časovnem obdobju, čeprav celotna skupina zajema daljše časovno obdobje. V tem primeru števila v vzorcu niso neodvisna. Takrat se uporabijo posebne enačbe, s katerimi se to poskuša popraviti.

Praktični rezultat: Z več meritvami v vzorcu lahko postanemo bolj prepričani o povprečni vrednosti. Potem bo standardna napaka povprečja manjša, ker se standardni odklon deli z večjim številom. Da pa bi bila negotovost (standardna napaka povprečja) povprečne vrednosti za polovico manjša, mora biti velikost vzorca (n) štirikrat večja. Standardni odklon se namreč deli s kvadratnim korenom velikosti vzorca. Da bi bila negotovost za desetino večja, mora biti velikost vzorca (n) stokrat večja!

Standardne napake je enostavno izračunati in se pogosto uporabljajo, ker:

• Če je znana standardna napaka več posameznih količin, lahko v mnogih primerih enostavno izračunamo standardno napako neke funkcije teh količin;
• Če je verjetnostna porazdelitev vrednosti znana, jo je mogoče uporabiti za izračun dobrega približka natančnega intervala zaupanja; in
• Kadar verjetnostna porazdelitev ni znana, lahko za oceno intervala zaupanja uporabimo druge enačbe
• Ko se velikost vzorca zelo poveča, načelo osrednjega limitnega teorema pokaže, da so števila v vzorcu zelo podobna številom v celotni skupini (imajo normalno porazdelitev).

Relativna standardna napaka (RSE) je standardna napaka, deljena s povprečjem. To število je manjše od ena. Če jo pomnožimo s 100 %, dobimo odstotek povprečja. To pomaga pokazati, ali je negotovost pomembna ali ne. Na primer, upoštevajmo dve raziskavi o dohodku gospodinjstev, ki sta obe dobili vzorčno povprečje 50.000 USD. Če ima ena raziskava standardno napako 10.000 USD, druga pa 5.000 USD, sta relativni standardni napaki 20 % oziroma 10 %. Raziskava z manjšo relativno standardno napako je boljša, ker ima natančnejšo meritev (negotovost je manjša).

Ljudje, ki morajo poznati povprečne vrednosti, se pogosto odločijo, kako majhna naj bo negotovost, preden se odločijo za uporabo informacije. Nacionalni center za zdravstveno statistiko ZDA na primer ne poroča o povprečju, če relativna standardna napaka presega 30 %. NCHS prav tako zahteva vsaj 30 opazovanj, da se ocena lahko sporoči. ^[]

V Mehiškem zalivu je na primer veliko rdečih rib v vodi. Da bi ugotovili, koliko v povprečju tehta 42 cm dolg rdečeperka, ni mogoče izmeriti vseh rdečeperk, ki so dolge 42 cm. Namesto tega je mogoče izmeriti nekatere od njih. Ribe, ki jih dejansko izmerimo, imenujemo vzorec. V tabeli sta prikazani teži dveh vzorcev rdečega okuna, ki sta dolga 42 cm. Povprečna (srednja) teža prvega vzorca je 0,741 kg. Povprečna (srednja) teža drugega vzorca je 0,735 kg, kar je nekoliko drugače kot pri prvem vzorcu. Vsako od teh povprečij se nekoliko razlikuje od povprečja, ki bi ga dobili, če bi izmerili vsakega 42 cm dolgega rdečega okuna (kar tako ali tako ni mogoče).

Z negotovostjo povprečja lahko ugotovimo, kako blizu je povprečje vzorcev povprečju, ki bi ga dobili z merjenjem celotne skupine. Negotovost povprečja se oceni kot standardni odklon za vzorec, deljen s kvadratnim korenom števila vzorcev minus ena. Iz tabele je razvidno, da sta negotovosti srednjih vrednosti za oba vzorca zelo blizu druga drugi. Tudi relativna negotovost je negotovost v povprečju, deljena s povprečjem in pomnožena s 100 %. Relativna negotovost v tem primeru je 2,38 % in 2,50 % za oba vzorca.

Če poznamo negotovost povprečja, lahko ugotovimo, kako blizu je povprečje vzorca povprečju, ki bi ga dobili z merjenjem celotne skupine. Povprečje celotne skupine je med a) povprečjem vzorca plus negotovost povprečja in b) povprečjem vzorca minus negotovost povprečja. V tem primeru naj bi bila povprečna teža vseh 42 cm dolgih rdečevratk v Mehiškem zalivu 0,723-0,759 kg na podlagi prvega vzorca in 0,717-0,753 na podlagi drugega vzorca.