Valj: definicija, lastnosti in formule za površino ter prostornino

V splošni rabi valj pomeni končni presek pravokotnega krožnega valja, tj. valja, katerega generalne črte so pravokotne na osnove, njegova konca pa sta sklenjena v dve krožni površini, kot je prikazano na sliki (desno). Če ima valj polmer r in dolžino (višino) h, je njegova prostornina podana z:

V = πrh²

njegova površina pa je:

• površina vrha (πr²) +
• površina dna (πr²) +
• površino stranice (2πrh).

Zato je površina brez zgornjega ali spodnjega dela (stranska površina):

A = 2πrh.

Z zgornjim in spodnjim delom je površina:

A = 2πr ²+ 2πrh = 2πr(r + h).

Pri dani prostornini ima valj z najmanjšo površino h = 2r. Pri dani površini ima valj z največjo prostornino h = 2r, tj. valj se prilega kocki (višina = premer).

Pravokotni valj z višino h enot in osnovo s polmerom r enot, katerega koordinatni osi sta izbrani tako, da je izhodišče v središču osnove, višina pa se meri vzdolž pozitivne osi x. Ravninski odsek na razdalji x enot od začetka ima površino A(x) kvadratnih enot, kjer

A ( x ) = π r {\displaystyle2 A(x)=\pi r^{2}}

ali

A ( y ) = π r {\displaystyle2 A(y)=\pi r^{2}}

Element prostornine je desni valj z osnovno površino Aw_i kvadratnih enot in debelino Δx_i enot. Če je torej V kubičnih enot prostornina desnega krožnega valja, po Riemannovih vsotah,

V o l u m e n a c i l i n d e r = lim | | Δ → |0 | ∑ i = n 1A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Obsežnost\;od\;cilinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫0 h A ( y ) d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0h π r d2 y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

S cilindričnimi koordinatami lahko prostornino izračunamo z integracijo nad

= ∫ 0h0 ∫ 2π ∫ 0r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r h 2{\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Cilindrični preseki so presečišča valjev z ravninami. Za desni krožni valj obstajajo štiri možnosti. Ravnina, ki je tangentna na valj, se stika z valjem v eni sami premici. Ravnina, ki jo premikamo vzporedno s seboj, bodisi ne seka valja bodisi ga seka v dveh vzporednih premicah. Vse druge ravnine sekajo valj v elipsi ali, če so pravokotne na os valja, v krogu.

Eliptični cilinder ali cilindroid je kvadrična površina z naslednjo enačbo v kartezičnih koordinatah:

( x a ) + 2( y b ) =21 . {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Ta enačba velja za eliptični valj, ki je posplošitev navadnega krožnega valja (a = b). Še bolj splošen je posplošen valj: presek je lahko poljubna krivulja.

Valj je degeneriran kvadrik, ker vsaj ena od koordinat (v tem primeru z) ne nastopa v enačbi.

Pri poševnem valju sta zgornja in spodnja površina med seboj pomaknjeni.

Obstajajo tudi druge, bolj nenavadne vrste valjev. To so namišljeni eliptični valji:

( x a ) + 2( y b ) =2 - 1{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

hiperbolični valj:

( x a )2 - ( y b ) = 2{\displaystyle1 \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

in parabolični valj:

x + 2a 2y =0 . {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

V projektivni geometriji je valj preprosto stožec, katerega vrh je v neskončnosti.

To je uporabno pri definiciji degeneriranih stožcev, pri kateri je treba upoštevati cilindrične stožce.