Hiperbola: definicija, lastnosti, enačbe, graf in primeri

Hiperbola: definicija, lastnosti, enačbe, graf in primeri — jasne razlage, risbe in praktični primeri za hitro razumevanje.

Hiperbola je vrsta stožčastega preseka. Tako kot ostale tri vrste stožčastih presekov - parabole, elipse in krogi - je krivulja, ki nastane s presečiščem stožca in ravnine. Hiperbola nastane, ko ravnina preseka obe polovici dvojnega stožca, pri čemer nastaneta dve krivulji, ki sta si na videz povsem podobni, vendar se odpirata v nasprotnih smereh. To se zgodi, ko je kot med osjo stožca in ravnino manjši od kota med premico na strani stožca in ravnino.

Hiperbole lahko najdemo na številnih mestih v naravi. Na primer, predmet v odprti orbiti okoli drugega predmeta, kamor se nikoli ne vrne, se lahko giblje v obliki hiperbole. Na sončni uri je pot, ki jo sčasoma prehodi konica sence, hiperbola.

Ena najbolj znanih hiperbol je graf enačbe f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x}.

Osnovna definicija in geometrijske lastnosti

Geometrijska definicija: Hiperbola je množica točk v ravnini, za katere je absolutna vrednost razlike razdalj do dveh fiksnih točk (fokusov) konstantna. Če sta foki F1 in F2 ter je konstanta 2a, potem za točko P velja |PF1 − PF2| = 2a.

• Središče: sredina med fokusoma (oz. med oboma vejama hiperbole).
• Verteksi: točki, ki ležita na bližji točki vsake veje glede na središče; razdalja od središča do verteksa je a.
• Foki: ležita na isti osi kot verteksi, razdalja od središča do vsakega fokusa je c, kjer velja c^2 = a^2 + b^2.
• Eksen: os, ki povezuje verteksi (imenovana transverzalna os). Konjugirana os je pravokotna nanjo.
• Ekscentričnost (e): e = c/a > 1 (za hiperbolo je vedno večja od 1).
• Veji (branches): hiperbola ima dve ločeni krivulji, vsaka leži na eni strani središča.
• Asimptote: dve premici, k kateri se veji hiperbole približujeta na neskončnosti.

Enačbe hiperbole

Standardna oblika, središče v izhodišču:

• Horizontalna transverzalna os: (x^2 / a^2) − (y^2 / b^2) = 1. Verteksi so (±a, 0), foki (±c, 0) s c^2 = a^2 + b^2. Asimptote: y = ±(b/a) x.
• Vertikalna transverzalna os: (y^2 / a^2) − (x^2 / b^2) = 1. Verteksi (0, ±a), foki (0, ±c). Asimptote: y = ±(a/b) x (pri primerni orientaciji glede na center).

Oblika s premikom središča (h,k):

(x − h)^2 / a^2 − (y − k)^2 / b^2 = 1 (ali z y in x zamenjana, če je transverzalna os navpična).

Splošna kvadratna enačba konike: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0. Za hiperbolo je pogoj B^2 − 4AC > 0. Če je B ≠ 0, je hiperbola običajno rotirana glede na koordinate.

Parametrične in druge oblike

• Parametrična oblika z hiperbolskimi funkcijami: x = a cosh t, y = b sinh t (za eno vejo, t ∈ R).
• Alternativna parametrična oblika: x = a sec θ, y = b tan θ (za primerno domeno θ).
• Pravokotna (rectangular) hiperbola: kadar a = b, asimptote sta pravokotni (npr. x^2 − y^2 = a^2). Funkcija y = 1/x (ali xy = konstanta) je prav tako primer pravokotne hiperbole z asimptotama x = 0 in y = 0.

Asimptote: kako jih dobimo

Asimptoti standardne hiperbole (x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1) dobimo tako, da pri velikih |x| zanemarimo konstanto 1 in dobimo y ≈ ±(b/a) x. Pri premiku središča postanejo asimptote premici skozi (h,k): y − k = ±(b/a)(x − h).

Primeri in račun

• Primer: naj bo a = 3 in b = 4. Potem je c = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 in ekscentričnost e = c/a = 5/3 ≈ 1,6667. Enačba: x^2/9 − y^2/16 = 1. Asimptote: y = ±(4/3) x. Verteksi: (±3,0). Foki: (±5,0).
• Razlagalni primer za f(x) = 1/x: graf je hiperbola s središčem v izhodišču, z asimptotama x = 0 in y = 0. Veji so v kvadrantih I in III. To je tudi primer rectangular (pravokotne) hiperbole, saj se asimptoti sekata pod pravim kotom.

Fizika in narava

Hiperbole se pojavljajo v naravi in tehniki:

• Pot objekta, ki vstopi v gravitacijsko polje in se oddalji ter se ne vrne (izstopna orbita) je hiperbola.
• Na sončnih urah ali nekaterih geometrijskih sencah se konica sence sledi hiperboli v določenih postavitvah.
• Hiperbolični reflektorji in antene uporabljajo lastnosti hiperbole (razliko razdalj do fokusa) za določene optične in radijske lastnosti.

Grafično razumevanje in risanje

Za risanje standardne hiperbole x^2/a^2 − y^2/b^2 = 1:

1. Narišite središče (0,0) in verteksi (±a,0).
2. Narišite asimptote y = ±(b/a) x skozi središče; te premice oblikujejo "vodilo" za veje.
3. Na obeh straneh središča narišite veja, ki se začne pri verteksih in se približuje asimptotam.

Opombe in povzetek

Ključne značilnosti: hiperbola ima dve ločeni veji, foki in verteksi so poravnani na transverzalni osi, ekscentričnost e > 1, asimptote usmerjajo vedenje krivulje na neskončnosti. Splošni pogoj za koniko, da je hiperbola, je B^2 − 4AC > 0 v kvadratni obliki enačbe.

Če želite, lahko v nadaljevanju prikažem:

• več numeričnih primerov in skice za različne a in b,
• postopek diagonalizacije splošne kvadratne oblike (rotacija osi),
• dokaz geometrijske definicije s fokusi (|PF1 − PF2| = 2a).

Opredelitve in enačbe

Dve nepovezani krivulji, ki sestavljata hiperbolo, imenujemo roki ali veje.

Dve točki, v katerih so veje najbližje skupaj, se imenujeta vrhova. Črta med tema dvema točkama se imenuje prečna os ali glavna os. Srednja točka prečne osi je središče hiperbole.

Na velikih razdaljah od središča se veje hiperbole približajo dvema premicama. Ti dve premici imenujemo asimptote. Z večanjem razdalje od središča se hiperbola vse bolj približuje asimptotama, vendar ju nikoli ne preseka.

Konjugirana os ali manjša os je pravokotna na prečno os ali je na njo pravokotna. Končni točki konjugirane osi sta na višini, kjer odsek, ki seka vrh in je pravokoten na prečno os, seka asimptote.

Hiperbolo, ki ima središče v izhodišču kartezičnega koordinatnega sistema, to je v točki (0,0), in prečno os na osi x, lahko zapišemo z enačbo

x 2 a 2 2 - y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

a je razdalja med središčem in vrhom. Dolžina prečne osi je enaka 2a. b je dolžina pravokotne premice od vrha do asimptote. Dolžina konjugirane osi je enaka 2b.

Obe veji zgornje hiperbole se odpirata v levo in desno. Če se veje odpirajo navzgor in navzdol in je prečna os na osi y, potem lahko hiperbolo zapišemo kot enačbo

y 2 a 2 2 - x 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.}

Graf hiperbole (rdeče krivulje). Asimptote so prikazane z modrimi črtkanimi črtami. Središče je označeno kot C, oba vrhova sta na -a in a. Oglišči sta označeni kot F1 in F2.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je hiperbola?

V: Kako nastane hiperbola?

V: Kje v naravi lahko najdemo primere hiperbol?

V: Katera enačba opisuje znan primer hiperbole?

V: Katere so poleg hiperbol še druge vrste stožčastih presekov?

V: Kako se te različne vrste razlikujejo med seboj?

Išči po črki