Fibonaccijeva števila: definicija, pravilo in osnovni primeri
Odkrijte Fibonaccijeva števila: enostavna definicija, pravilo ponavljanja in osnovni primeri z razlago zgodovine ter praktičnih primerov.
Fibonaccijeva števila so zaporedje števil v matematiki, poimenovano po Leonardu iz Pise, znanem kot Fibonacci. Fibonacci je leta 1202 napisal knjigo Liber Abaci ("Knjiga računanja"), ki je ta številski vzorec uvedla v zahodnoevropsko matematiko, čeprav so ga poznali že matematiki v Indiji.
Prvo število v vzorcu je 0, drugo število je 1, vsako naslednje število pa je enako seštevanju dveh števil pred njim. Na primer 0+1=1 in 3+5=8. To zaporedje se nadaljuje v nedogled.
To lahko zapišemo kot relacijo ponavljanja,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
Da bi bilo to smiselno, je treba podati vsaj dve izhodišči. Tu sta F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
in F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Osnovni primeri
Prvih nekaj Fibonaccijevih števil (začenši z F0) je:
- F0 = 0
- F1 = 1
- F2 = 1
- F3 = 2
- F4 = 3
- F5 = 5
- F6 = 8
- F7 = 13
- F8 = 21
- F9 = 34
- F10 = 55
Vsako število je vsota dveh prejšnjih: npr. F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5, F8 = F7 + F6 = 13 + 8 = 21.
Lastnosti in pomembne formule
- Zlati rez: Razmerje dveh zaporednih členov tendeira k zlati rezi φ (fi), kjer je φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887. Formalno: lim (n→∞) F(n+1)/F(n) = φ.
- Binetova formula: Zaporedje ima zaprto obliko (Binetova formula): Fn = (φ^n − (1 − φ)^n) / √5. Ta formula omogoča neposreden izračun Fn brez ponavljanja.
- Asimptotična rast: Za velika n velja približek Fn ≈ φ^n / √5 — zato Fibonacci hitro raste eksponentno glede na n.
- Generirna funkcija: Generirna funkcija zaporedja je G(x) = x / (1 − x − x^2). Ta funkcija se uporablja v formalni teoriji zaporedij in pri dokazih lastnosti.
- Matrična predstavitev: Potenca matrike [[1,1],[1,0]] daje Fibonacci števila, saj velja [[1,1],[1,0]]^n = [[F(n+1), F(n)], [F(n), F(n−1)]]. To je osnova hitrega binarnega eksponentiranja za izračun velikih členov.
- Deljivost in največji skupni delitelj: Velja Fgcd(m,n) = gcd(Fm, Fn). Posledično, če k deli n, potem Fk deli Fn.
Uporabe in pojavljanje v naravi
Fibonaccijeva števila se pojavljajo v različnih področjih:
- v naravi: razporeditev listov in storžev (filotaksija), spirale v sončničnih semenih, razpored brstov pri rastlinah;
- v umetnosti in arhitekturi: sorazmerja blizu zlatega reza se uporabljajo za estetske razmere;
- v računalništvu: pri analizi algoritmov, dinamičnem programiranju in strukturah podatkov (npr. Fibonacci heap);
- v kombinatoriki in teoriji števil: štetje načinov za sestavljanje zlogov ali zasedb (klasičen "zajčji problem"), povezave s Pascalovim trikotnikom in binomskimi koeficienti;
- v teoriji zaporedij, nadaljevanjih ulomkov in kontinuiranih verigah.
Različne konvencije
Običajna konvencija, uporabljena zgoraj, se začne z F0 = 0, F1 = 1. V nekateri literaturi pa zaporedje začnejo z F1 = 1, F2 = 1. Obe konvenciji sta smiselni — le indeksiranje se premakne za eno mesto, rekurzija pa ostane enaka: Fn = F(n−1) + F(n−2).
Kaj si zapomniti
- Fibonaccijeva zaporedja izhaja iz preprostega pravila ponavljanja, vendar ima globoke povezave z geometrijo, algebro, teorijo števil in naravo.
- Ključne formule: rekurzija Fn = F(n−1) + F(n−2), Binetova formula in povezava z zlati rezi.
- Za praktičen izračun velikih členov se uporabljata hitri metodi: matrična potenca in uporaba Binetove formule s plavajočo ali celočno aritmetiko.
Fibonaccijeva spirala, ustvarjena z risanjem črte skozi kvadrate v Fibonaccijevi plošči; ta uporablja kvadrate velikosti 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 in 34; glej Zlato spiralo
Fibonaccijeva števila v naravi
Fibonaccijeva števila so povezana z zlatim rezom, ki se pojavlja na številnih mestih v stavbah in naravi. Nekateri primeri so vzorec listov na steblu, deli ananasa, cvetenje artičoke, razpiranje praproti in razporeditev borovega stožca. Fibonaccijeva števila najdemo tudi v družinskem drevesu medonosnih čebel.
Sončnična glava s cvetovi v spiralah po 34 in 55 na zunanji strani
Binetova formula
N-to Fibonaccijevo število lahko zapišemo v obliki zlatega reza. S tem se izognemo uporabi rekurzije za izračun Fibonaccijevih števil, kar lahko računalniku vzame veliko časa.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Kje φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 
zlato razmerje.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Fibonaccijevo zaporedje?
O: Fibonaccijevo zaporedje je vzorec števil v matematiki, poimenovan po Leonardu iz Pise, znanem kot Fibonacci. Začne se z 0 in 1, vsako naslednje število pa je enako seštevku dveh števil tik pred njim.
V: Kdo je ta številski vzorec uvedel v zahodnoevropsko matematiko?
O: Fibonacci je leta 1202 napisal knjigo Liber Abaci ("Knjiga o računanju"), ki je številski vzorec uvedla v zahodnoevropsko matematiko, čeprav so ga poznali že matematiki v Indiji.
V: Kako je mogoče zapisati Fibonaccijevo zaporedje?
O: Fibonaccijevo zaporedje lahko zapišemo kot rekurenčno relacijo, kjer je F_n = F_n-1 + F_n-2 za n ≥ 2.
V: Katera so izhodišča te rekurenčne relacije?
O: Da bi bilo to smiselno, morata biti podani vsaj dve začetni točki. Tu je F_0 = 0 in F_1 = 1.
V: Ali se Fibonaccijevo zaporedje nadaljuje v neskončnost?
O: Da, zaporedje se nadaljuje v neskončnost.
V: Kje so matematiki prvič spoznali ta številski vzorec? O: Matematiki v Indiji so že poznali ta številski vzorec, preden ga je Leonardo iz Pise (Fibonacci) predstavil zahodni Evropi.
Iskati