Zlato razmerje (φ): definicija, formula (1+√5)/2 in lastnosti
Zlato razmerje φ: definicija, formula (1+√5)/2, iracionalne lastnosti, praktične uporabe ter povezave s Fibonacci zaporedjem in geometrijo.
Če imamo eno število a in drugo manjše število b, razmerje med njima ugotovimo tako, da ju delimo. Njuno razmerje je a/b. Drugo razmerje dobimo tako, da seštejemo obe števili (a+b) in to delimo z večjim številom a; novo razmerje je (a+b)/a. Če sta ti dve razmerji enaki istemu številu, se to število imenuje zlato razmerje. Grška črka φ {\displaystyle \varphi } 
(phi) se običajno uporablja kot ime za zlato razmerje.
Galerija slik
10 Slike
Definicija in osnovna enačba
Če označimo zlato razmerje z φ {\displaystyle \varphi } , potem iz pogoja a/b = (a+b)/a sledijo zveze, ki jih lahko zapišemo tudi tako. Če vzamemo primer, kjer je b = 1 in zato a = φ {\displaystyle \varphi } , je drugo razmerje (a+b)/a enako ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } 
. Ker sta ti dve razmerji enaki, dobimo enačbo:
φ = {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }
Pomnožimo obe strani z φ in preuredimo, da dobimo kvadratno enačbo φ² = φ + 1. Rešitev te enačbe je:
φ = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
{\displaystyle {\sqrt {5}}} 
pomeni pozitivno kvadratno korenino iz 5, torej število, ki ga, če ga pomnožimo samo s seboj, da rezultat 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} 
.
Numerična vrednost in lastnosti
Zlato razmerje je približno 1,6180339887..., torej
- iracionalno število: njegova decimalna predstava se nikoli ne konča in ne ponavlja; ni ga mogoče izraziti kot ulomek dveh celih števil; iracionalno število;
- kvadratna iracionalnost: φ je rešitev kvadratne enačbe φ² − φ − 1 = 0 in zato spada med kvadratne iracionalne številke;
- algebračna lastnost: φ² = φ + 1;
- recipročna lastnost: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887… (torej je recipročna vrednost φ enaka φ zmanjšanemu za 1);
- kontinuiteta kot verižni ulomek: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(…))) — neskončen verižni ulomek, kjer so vsi členi enaki 1;
- konjugat: druga rešitev kvadratne enačbe je ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887, pogosto imenovana zlata konjugata.
Povezava s Fibonaccijevim zaporedjem
Razmerje zaporednih členov Fibonaccijevega zaporedja F_{n+1}/F_n konvergira proti φ, ko n raste proti neskončnosti. Zaradi tega se φ pogosto pojavlja v lastnostih zaporedja Fibonaccijevih števil in v izpeljavah Binetove formule.
Uporabe in pojavnost
Zlato razmerje se pojavlja v geometriji (npr. zlati pravokotnik, pentagram, enakomerni petkotnik), v naravnih vzorcih (razporeditev listov na steblu, ramificiranje), v umetnosti in arhitekturi (razmerja, ki jih nekateri avtorji povezujejo z estetsko privlačnostjo) ter v računalništvu in teoriji števil. Pomembno je razumeti, da so trditve o »čarobnosti« zlatega razmerja pogosto posplošene — številka ima zanimive matematične lastnosti in se pogosto pojavi v praktičnih modelih, vendar ni univerzalni kriterij lepote.
Kaj si zapomniti
- Definicija: φ je tisto pozitivno število, pri katerem je razmerje večjega dela do manjšega enako razmerju celote do večjega dela.
- Formula: φ = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
. - Lastnosti: φ² = φ + 1 in 1/φ = φ − 1.
Zlati pravokotnik
Če je dolžina pravokotnika, deljena z njegovo širino, enaka zlatemu rezu, je pravokotnik "zlati pravokotnik". Če z enega konca zlatega pravokotnika odrežemo kvadrat, je drugi konec nov zlati pravokotnik. Na sliki je veliki pravokotnik (modri in rožnati skupaj) zlati pravokotnik, ker je a / b = φ {\displaystyle a/b=\varphi } 
. Modri del (B) je kvadrat. Rožnati del sam po sebi (A) je še en zlati pravokotnik, ker je b / ( a - b ) = φ {\displaystyle b/(a-b)=\varphi } 
. Veliki pravokotnik in rožnati pravokotnik imata enako obliko, vendar je rožnati pravokotnik manjši in obrnjen.
Veliki pravokotnik BA je zlati pravokotnik; to pomeni, da je razmerje b:a 1: φ {\displaystyle \varphi } . Če za vsak tak pravokotnik in samo za pravokotnike s tem posebnim razmerjem odstranimo kvadrat B, ostane A, ki je še en zlati pravokotnik; to je pravokotnik z enakimi razmerji kot prvotni pravokotnik.
Fibonaccijeva števila
Fibonaccijeva števila so seznam števil. Naslednje število na seznamu lahko najdemo tako, da seštejemo zadnji dve številki. Če število na seznamu delimo s številom, ki je bilo pred njim, se to razmerje vedno bolj približuje zlatemu rezu.
| Fibonaccijevo število | deljeno s tistim pred | razmerje |
| 1 | ||
| 1 | 1/1 | = 1.0000 |
| 2 | 2/1 | = 2.0000 |
| 3 | 3/2 | = 1.5000 |
| 5 | 5/3 | = 1.6667 |
| 8 | 8/5 | = 1.6000 |
| 13 | 13/8 | = 1.6250 |
| 21 | 21/13 | = 1.6154... |
| 34 | 34/21 | = 1.6190... |
| 55 | 55/34 | = 1.6177... |
| 89 | 89/55 | = 1.6182... |
| ... | ... | ... |
| φ {\displaystyle \varphi } | = 1.6180... |
Zlato razmerje v naravi
Vprašanja in odgovori
V: Kakšno je razmerje dveh števil?
O: Razmerje dveh števil ugotovimo tako, da ju delimo, zato je razmerje a/b.
V: Kako lahko najdemo drugo razmerje?
O: Drugo razmerje lahko najdemo tako, da seštejemo obe števili in nato to vsoto delimo z večjim številom a. To novo razmerje bi bilo (a+b)/a.
V: Kako imenujemo primer, ko sta ti dve razmerji enaki drug drugemu?
O: Ko sta ti dve razmerji enaki drug drugemu, se to imenuje zlato razmerje. Običajno ga predstavljamo z grško črko צ ali phi.
V: Če je b = 1 in a/b = צ , kaj to pomeni za a?
O: Če je b = 1 in a/b = צ , to pomeni, da je tudi a = צ .
V: Kako lahko to število zapišemo?
O: To število lahko zapišemo tako: צ = 1 + 5 / 2 = 1,618 ...
V: Kaj pomeni, če od tega števila odštejemo 1 ali z njim delimo 1?
O: Če od njega odšteješ 1 ali ga deliš z 1, boš dobil nazaj isto število - z drugimi besedami, obe številki bosta enaki zlatemu rezu.
V: Ali je zlato razmerje iracionalno število?
O: Da, zlato razmerje je iracionalno število, kar pomeni, da če ga nekdo poskuša zapisati, ne bo nikoli konca in vzorca - začne se samo z nečim, kot je "1,6180339887 ...".
Sorodni članki
Avtor
AlegsaOnline.com Zlato razmerje (φ): definicija, formula (1+√5)/2 in lastnosti Leandro Alegsa
URL: https://sl.alegsaonline.com/art/39508