Če imamo eno število a in drugo manjše število b, razmerje med njima ugotovimo tako, da ju delimo. Njuno razmerje je a/b. Drugo razmerje dobimo tako, da seštejemo obe števili (a+b) in to delimo z večjim številom a; novo razmerje je (a+b)/a. Če sta ti dve razmerji enaki istemu številu, se to število imenuje zlato razmerje. Grška črka φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi } (phi) se običajno uporablja kot ime za zlato razmerje.

Definicija in osnovna enačba

Če označimo zlato razmerje z φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }, potem iz pogoja a/b = (a+b)/a sledijo zveze, ki jih lahko zapišemo tudi tako. Če vzamemo primer, kjer je b = 1 in zato a = φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi }, je drugo razmerje (a+b)/a enako ( φ + 1 ) / φ {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }. Ker sta ti dve razmerji enaki, dobimo enačbo:

φ = {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi } {\displaystyle (\varphi +1)/\varphi }

Pomnožimo obe strani z φ in preuredimo, da dobimo kvadratno enačbo φ² = φ + 1. Rešitev te enačbe je:

φ = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

{\displaystyle {\sqrt {5}}} {\displaystyle {\sqrt {5}}} pomeni pozitivno kvadratno korenino iz 5, torej število, ki ga, če ga pomnožimo samo s seboj, da rezultat 5: {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5} {\displaystyle {\sqrt {5}}\times {\sqrt {5}}=5}.

Numerična vrednost in lastnosti

Zlato razmerje je približno 1,6180339887..., torej

  • iracionalno število: njegova decimalna predstava se nikoli ne konča in ne ponavlja; ni ga mogoče izraziti kot ulomek dveh celih števil; iracionalno število;
  • kvadratna iracionalnost: φ je rešitev kvadratne enačbe φ² − φ − 1 = 0 in zato spada med kvadratne iracionalne številke;
  • algebračna lastnost: φ² = φ + 1;
  • recipročna lastnost: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,6180339887… (torej je recipročna vrednost φ enaka φ zmanjšanemu za 1);
  • kontinuiteta kot verižni ulomek: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(…))) — neskončen verižni ulomek, kjer so vsi členi enaki 1;
  • konjugat: druga rešitev kvadratne enačbe je ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,6180339887, pogosto imenovana zlata konjugata.

Povezava s Fibonaccijevim zaporedjem

Razmerje zaporednih členov Fibonaccijevega zaporedja F_{n+1}/F_n konvergira proti φ, ko n raste proti neskončnosti. Zaradi tega se φ pogosto pojavlja v lastnostih zaporedja Fibonaccijevih števil in v izpeljavah Binetove formule.

Uporabe in pojavnost

Zlato razmerje se pojavlja v geometriji (npr. zlati pravokotnik, pentagram, enakomerni petkotnik), v naravnih vzorcih (razporeditev listov na steblu, ramificiranje), v umetnosti in arhitekturi (razmerja, ki jih nekateri avtorji povezujejo z estetsko privlačnostjo) ter v računalništvu in teoriji števil. Pomembno je razumeti, da so trditve o »čarobnosti« zlatega razmerja pogosto posplošene — številka ima zanimive matematične lastnosti in se pogosto pojavi v praktičnih modelih, vendar ni univerzalni kriterij lepote.

Kaj si zapomniti

  • Definicija: φ je tisto pozitivno število, pri katerem je razmerje večjega dela do manjšega enako razmerju celote do večjega dela.
  • Formula: φ = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}.
  • Lastnosti: φ² = φ + 1 in 1/φ = φ − 1.