Fraktal

Primeri

Obstaja veliko vrst fraktalov, ki so narejeni na najrazličnejše načine. Primer je trikotnik Sierpinskega, kjer je znotraj velikega trikotnika neskončno število majhnih trikotnikov. Drug primer je Mandelbrotova množica, poimenovana po Benoîtu Mandelbrotu. Sierpinksijev trikotnik je zgrajen s pomočjo vzorcev, Mandelbrotova množica pa temelji na enačbi.

Tudi v naravi je veliko naravnih primerov fraktalov, med drugim drevesa, snežinke, nekatere vrste zelenjave in obale.

Kochova krivulja

Kochova krivulja je preprost primer fraktala. Najprej začnemo z delom ravne črte, ki se imenuje odsek ravne črte. Premico razrežite na tri enako velike dele. Znebite se sredine teh kosov in vstavite zgornji del trikotnika s stranicami, ki so enako dolge kot izrezani kos. Zdaj imamo 4 odseke, ki se na koncih dotikajo. To, kar smo pravkar naredili s prvim odsekom, lahko zdaj naredimo z vsakim od štirih bitov. Enako lahko naredimo še enkrat in še enkrat z vsemi bitmi, ki smo jih dobili. Zdaj to počnemo v nedogled in poglejmo, kaj smo dobili.

Dolžina Kochove krivulje je neskončno, njena površina pa je enaka nič. To je precej nenavadno. Odsek črte (z dimenzijo 1) ima lahko dolžino 1, vendar ima površino 0. Kvadrat dolžine 1 in širine 1 (z dimenzijo 2) bo imel površino 1 in dolžino neskončno.

Dimenzija podobnosti

Tako se zdi, da je Kochova krivulja večja od nečesa z razsežnostjo 1 in manjša od nečesa z razsežnostjo 2. Namen dimenzije podobnosti je podati dimenzijo, ki daje boljšo predstavo o dolžini ali površini fraktalov. Za Kochovo krivuljo torej želimo dimenzijo med 1 in 2.

Kochovo krivuljo lahko razrežemo na štiri dele, od katerih je vsak 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} velikosti izvirnika. Število kosov, na katere lahko razrežemo fraktal, imenujemo N {\displaystyle N} , razliko v velikosti pa B {\displaystyle B} . Ta dva podatka vstavimo v enačbo:

log N - log B {\displaystyle {\frac {\log N}{-\log B}}}

Pri čemer je log {\displaystyle \log } logaritem števila. To število je Hausdorffova dimenzija fraktala. Pri Kochovi krivulji je to log 4 - log 1 3 = 1,2619... {\displaystyle {\frac {\log 4}{-\log {\frac {1}{3}}}}=1,2619... } , kot smo želeli.

Kochova krivulja je ena najpreprostejših fraktalnih oblik, zato je njeno dimenzijo enostavno določiti. Njena dimenzija podobnosti in Hausdorffova dimenzija sta enaki. To ne velja za bolj zapletene fraktale.

Kochova snežinka

Kochova snežinka (ali Kochova zvezda) je enaka Kochovi krivulji, le da se začne z enakostraničnim trikotnikom namesto z odsekom črte.

Kako narediti Kochovo krivuljo

Uporablja

Fraktali se pogosto uporabljajo, npr. v biologiji (pljuča, ledvice, variabilnost srčnega utripa itd.), pri potresih, v financah, kjer so povezani s t. i. porazdelitvami težkih repov, in v fiziki. To kaže, da bi bilo treba fraktale preučevati, da bi razumeli, zakaj so fraktali v naravi tako pogosti.

Nekateri fraktali obstajajo le iz umetniških razlogov, drugi pa so zelo uporabni. Fraktali so zelo učinkovite oblike za radijske antene in se uporabljajo v računalniških čipih za učinkovito povezovanje vseh komponent. Tudi obalne črte si lahko predstavljamo kot fraktale.