Principia Mathematica: temelji simbolne logike Whiteheada in Russella
Principia Mathematica: poglobljen vpogled v temelje simbolne logike Whiteheada in Russella, njen zgodovinski pomen, vpliv ter Gödelove posledice.
Za knjigo Isaaca Newtona z osnovnimi fizikalnimi zakoni glej Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Spomnim se, da mi je Bertrand Russell pripovedoval o grozljivih sanjah. Bil je v zgornjem nadstropju univerzitetne knjižnice, okoli leta 2100 po Kristusu. Knjižnični pomočnik je hodil po policah z velikanskim vedrom, snemal knjige, jih gledal, vračal na police ali jih odmetaval v vedro. Nazadnje je prišel do treh velikih zvezkov, v katerih je Russell prepoznal zadnji ohranjeni izvod knjige Principia Mathematica. Vzel je enega od zvezkov, prelistal nekaj strani, za trenutek se je zdel zmeden zaradi nenavadne simbolike, zaprl zvezek, ga uravnotežil v roki in se obotavljajoče....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. Matematikova apologija. Cambridge: University Press. str. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
Principia Mathematica je tridelno delo Alfreda Northa Whiteheada in Bertranda Russella o temeljih matematike. Objavljeno je bilo v letih 1910, 1912 in 1913. Leta 1927 je izšlo v drugi izdaji s pomembnim Uvodom k drugi izdaji in različnimi opombami na koncu. Pogosto je znana pod imenom PM.
Cilj in vsebina
Glavni cilj Principia Mathematica je bil pokazati, da je celotna matematika — ali vsaj velik del klasične matematike — v principu izpeljiva iz natančno opredeljenega nabora logičnih aksiomov in pravil sklepanja. Avtorja sta želela uresničiti t. i. logični program (logicism): zamisel, da so matematične resnice v bistvu logične resnice. Za to sta razvila obsežen formalni sistem z namensko simbolno notacijo in natančno definicijo pojmov, na primer števila, množice in relacij.
Teorija tipov in glavne značilnosti
Ker so Russell in Whitehead naletela na paradokse znotraj prostih teorij množic (na primer Russellov paradoks), sta kot rešitev uvedla ramificirano teorijo tipov. Ta delno omejuje, katere vrste argumentov so dovoljene, da se prepreči samoreferenčnost, ki vodi v protislovja. Ključni element je tudi aksiom reducibilnosti, ki je bil vpeljan, da bi zmanjšal preveč stroge posledice ramifikacije in omogočil izpeljave uporabnih matematičnih teorij.
Metodologija, notacija in znani primeri
V PM sta Russell in Whitehead uvedla kompleksno simbolno notacijo, s katero sta natančno zapisovala aksiome in dokaze. Slavna anekdota je, da sta v tej strogi formalni shemi dokazala osnovne aritmetične resnice — na primer izpeljava izjave, da je 1+1=2 — šele po več sto straneh izpeljav in definicij (pogosto omenjena kot primer radikalne formalizacije matematike).
Vpliv, sprejem in kritika
Principia Mathematica je imela velik vpliv na razvoj moderne simbolne logike, filozofijo matematike in analitično filozofijo. Deloma je spodbudila razvoj formalnih teorij, logičnih metod in računalniške teorije. Hkrati so nekateri kritiki opozarjali na zapletenost notacije, težavnost praktične rabe in na to, da so nekatere predpostavke (npr. aksiom reducibilnosti) z vidika čistosti logičnega programa problematične.
Avtorjevo delo je tudi navdihnilo številne poznejše logike in filozofe — na primer Wittgensteina, Carnapa in Quinea — ter vplivalo na razvoj matematične logike v 20. stoletju.
Gödelov teorem o nepopolnosti
Ambiciozen cilj, da bi iz celotne matematike naredili popolnoma dokončen in dosleden formalni sistem, pa je leta 1931 omejil Kurt Gödel. Gödelov teorem o nepopolnosti dokazuje, da v vsakem dovolj zmogljivem in konsistentnem formalu, ki vsebuje aritmetiko, obstajajo resnice, ki jih iz izbranih aksiomov ni mogoče dokazati znotraj tega sistema. Posledica je, da nobena verzija PM — ali podoben formalni poskus — ne more hkrati zagotoviti popolnosti in konsistence, če sistem dovolj nagovarja aritmetiko.
Povezave z drugimi deli in zgodovina izdaj
PM pogosto ne smemo zamenjevati z Russellovimi Načeli matematike iz leta 1903; Whitehead in Russell sta prvotno nameravala nadaljevati to delo, a se je projekt razširil v obsežno trodelno delo. Ena pomembna predhodnica in navdih je bilo delo Gottloba Fregeja, ki je razvijal ideje simbolne logike in formalne semantike.
Druge izdaje, prepromembne opombe v 1927 in reakcije matematične skupnosti so oblikovale zgodnji 20. stoletje kot obdobje intenzivnega razvoja temeljnih vprašanj matematike in logike.
Zaključek
Čeprav je bil cilj Principia Mathematica — popolna logična formalizacija matematike — prekrit z omejitvami, ki jih je razkril Gödel, ostaja delo Whiteheada in Russella mejnik v intelektualni zgodovini. Predstavlja vrhunec poskusa utemeljitve matematike znotraj logike, je dokument izjemne pedantnosti in daje pomembne vpoglede v naravo formalnih sistemov, aksiomov in definicij.
Modern Library jo je uvrstila na 23. mesto seznama 100 najboljših angleških neleposlovnih knjig dvajsetega stoletja.
Naslovna stran skrajšane različice knjige Principia Mathematica do *56
Vprašanja in odgovori
V: Kako je naslov knjige Isaaca Newtona?
O: Naslov knjige Isaaca Newtona je Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
V: Kdo je napisal knjigo Principia Mathematica?
O: Knjigo Principia Mathematica sta napisala Alfred North Whitehead in Bertrand Russell.
V: Kdaj je bila knjiga Principia Mathematica objavljena?
O: Principia Mathematica je bila objavljena leta 1910, 1912 in 1913.
V: Kaj sta avtorja menila, da lahko s knjigo naredita?
O: Avtorji so verjeli, da lahko s knjigo opišejo niz aksiomov, pravil sklepanja in zakona o nespornosti v simbolni logiki, iz katerih je načeloma mogoče dokazati vse matematične resnice.
V: Kako je Gödelov teorem nepopolnosti dokazal, da je ta cilj nemogoč?
O: Gödelov teorem o nepopolnosti je dokazal, da mora biti za vsak predlagani niz aksiomov in pravil sklepanja sistem nekonsistenten ali pa morajo dejansko obstajati matematične resnice, ki jih ni mogoče izpeljati iz njih. Zato se je izkazalo, da tega ambicioznega projekta ni mogoče uresničiti.
V: Kdo je navdihnil in motiviral PM?
O: PM je navdihnilo in motiviralo zgodnejše delo Gottloba Fregeja o logiki.
V: Kako se PM razlikuje od Russellovih Načel matematike iz leta 1903?
O: PM se razlikuje od Russellovih Načel matematike iz leta 1903, saj v PM piše: "To delo je bilo prvotno mišljeno kot ... drugi zvezek Načel matematike ... Vendar je bilo z napredovanjem vedno bolj očitno, da je predmet veliko obsežnejši, kot smo domnevali ..."
Iskati