Schwarzschildova metrika
Schwarzschildovo metriko je leta 1916 izračunal Karl Schwarzschild kot rešitev Einsteinovih enačb polja. Znana je tudi kot Schwarzschildova rešitev in je enačba iz splošne teorije relativnosti na področju astrofizike. Metrika se nanaša na enačbo, ki opisuje prostor-čas; zlasti Schwarzschildova metrika opisuje gravitacijsko polje okoli Schwarzschildove črne luknje - nerotirajoče, sferične črne luknje brez magnetnegapolja, kjer je kozmološka konstanta enaka nič.
Gre za enačbo, ki opisuje gibanje delca v prostoru v bližini črne luknje.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
Izpeljava
Čeprav lahko Schwarzschildovo metriko izračunamo na bolj zapleten način z uporabo Christoffelovih simbolov, jo lahko izpeljemo tudi z uporabo enačb za hitrost pobega ( v e {\displaystyle v_{e}}
), časovno dilatacijo (dt') in kontrakcijo dolžine (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v je hitrost delca
G je gravitacijska konstanta
M je masa črne luknje
r je razdalja med delcem in težkim predmetom
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' je resnična sprememba časa delca
dt je sprememba časa delca
dr' je resnična prepotovana razdalja
dr je sprememba razdalje delca
v je hitrost delca
c je hitrost svetlobe
Opomba: dejanski časovni interval in dejanska razdalja, ki ju prepotuje delec, se razlikujeta od časa in razdalje, izračunanih v izračunih klasične fizike, saj potuje v tako močnem gravitacijskem polju!
Uporabimo enačbo za ploski prostor-čas v sfernih koordinatah:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds je pot delca
θ {\displaystyle \theta } 
je kot
d θ {\displaystyle \theta } in d ϕ {\displaystyle \phi } 
sta spremembi kotov
Če v enačbo za ploski prostor-čas (enačba 4) vnesemo enačbe za hitrost pobega, časovno dilatacijo in krčenje dolžine (enačbe 1, 2 in 3), dobimo Schwarzschildovo metriko:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(5)
Iz te enačbe lahko izpeljemo Schwarzschildov polmer ( r s {\displaystyle r_{s}}
), polmer te črne luknje. Čeprav se to najpogosteje uporablja za opis Schwarzschildove črne luknje, lahko Schwarzschildov polmer izračunamo za vsako težko telo.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} je določena meja polmera predmeta
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Schwarzschildova metrika?
O: Schwarzschildova metrika je enačba iz splošne teorije relativnosti na področju astrofizike, ki opisuje, kako se delec giblje po prostoru v bližini črne luknje. Izračunal jo je Karl Schwarzschild kot rešitev Einsteinovih enačb polja leta 1916.
V: Na kaj se nanaša metrika?
O: Metrika se nanaša na enačbo, ki opisuje prostor-čas; zlasti Schwarzschildova metrika opisuje gravitacijsko polje okoli Schwarzschildove črne luknje.
V: Katere so nekatere značilnosti Schwarzschildove črne luknje?
O: Schwarzschildova črna luknja se ne vrti, je sferična in nima magnetnega polja. Poleg tega je njena kozmološka konstanta enaka nič.
V: Kako lahko opišemo gravitacijsko polje okoli Schwarzschildove črne luknje?
O: Opišemo ga lahko s Schwartzchildovo metrično enačbo, ki opisuje, kako se delci gibljejo po prostoru v bližini te vrste črne luknje.
V: Kdo je prvi izračunal to enačbo?
O: Karl Schwartzchild je leta 1916 to enačbo prvič izračunal kot rešitev Einsteinovih enačb polja.
V: Kaj pomeni (ds)^2 v tej enačbi?
O: (ds)^2 predstavlja razdaljo med dvema točkama v prostor-času, merjeno glede na časovne in prostorske koordinate.
