Schwarzschildova metrika: enačba in pomen v splošni teoriji relativnosti
Schwarzschildova metrika: jasna razlaga enačbe, njen pomen v splošni teoriji relativnosti in vpliv na črne luknje — matematično in astrofizično vodilo.
Schwarzschildovo metriko je leta 1916 izračunal Karl Schwarzschild kot rešitev Einsteinovih enačb polja. Znana je tudi kot Schwarzschildova rešitev in je osnovna analitična rešitev splošne teorije relativnosti za vakuumsko, statično in sferično simetrično porazdelitev mase. V astrofiziki se najpogosteje uporablja za opis gravitiacijskega polja okoli idealizirane nerotirajoče, sferične črne luknje brez električnega naboja in brez magnetnega polja, ob predpostavki, da je kozmološka konstanta enaka nič. Metrika predstavlja matematični opis prostor-časa in določa, kako se merijo razdalje in časi ter kako se gibljejo delci in fotoni v tem prostoru.
Schwarzschildova metrika je pomembna tudi zato, ker omogoča natančen izračun pojavov, kot so upogibanje svetlobe, gravitacijska rdeča premosoritev (redshift), zamik časov (time dilation), predcesija perihelija orbite (npr. Merkurja) in obstoj mejnih struktur, kot sta Schwarzschildov radij in dogodkovni horizont.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
Osnovne količine in pomen členov metrike
V zgornji metrski enačbi so uporabljene standardne sferične koordinate (t, r, θ, φ). Parameter M predstavlja maso centra (v enotah mase), G je gravitacijska konstanta in c je hitrost svetlobe. Kombinacija
- Schwarzschildov radij R_s = 2GM / c^2 — pri r = R_s se pojavi dogodek, ki ga v običajnih Schwarzschildovih koordinatah izgleda kot singularnost koordinat (koord. singularnost), vendar to ni fizikalna singularnost gnezda krivuljnice;
- Za r = 0 obstaja fizična krivuljna singularnost (neodstranljiva s preprosto zamenjavo koordinat), kjer divergence skalarske invarianta (npr. Kretschmannovska skalar) kažejo na resnično singularnost.
Dogodkovni horizont in koordinate
Pri r = R_s = 2GM/c^2 Schwarzschildove koordinate postanejo singularne: metricni koeficienti g_tt in g_rr divergirajo ali spreminjajo predznak. Ta pojav ni fizična singularnost ampak koordinatna — z uporabo drugih koordinat (npr. Eddington–Finkelsteinovih ali Kruskalovih koordinat) se ta navidezna singularnost odstrani in jasno prikaže, da je r = R_s dejanski dogodkovni horizont, točka brez povratka za svetlobo in snov, ki pade noter.
Orbite, fotonska sfera in ISCO
Schwarzschildov prostor-čas vsebuje več pomembnih radijev, pomembnih za dinamiko delcev in fotonov:
- Fotonska sfera: r = 3GM/c^2 = 1.5 R_s — stabilna orbita za fotone ne obstaja, obstaja pa nestabilna krožna orbita na tem radiju;
- Innermost stable circular orbit (ISCO) za masivne delce: r = 6GM/c^2 = 3 R_s — znotraj te meje ni stabilnih krožnih orbit za prosti testni delec;
- Za velike r metrika se približuje Minkowskemu (ravnemu) prostor-času in Newtonova gravitacija se ponovno vzpostavi v šibkem polju (potencial ~ −GM/r).
Učinki na gibalne enačbe in opazovanja
Gibalne poti prostih delcev in fotonov so geodetike Schwarzschildove metrike. Iz tega izvirajo opazni učinki:
- Predcesija perihelija: relativistična poprava do Newtonove orbite razloži del ciljne precesije Merkurjeve orbite.
- Upogibanje svetlobe in gravitacijsko lečenje (lensing): svetloba se ukrivi ob preletu mase — to je bilo potrjeno že v začetku 20. stoletja.
- Gravitacijska rdeča premosoritev in zamik časov: ure bližje masi tečejo počasneje glede na oddaljene opazovalce.
- Shapirojev zamik: dodatni časovni zamik signala, ki prehaja blizu masivne telesa.
Omejitve in razširitve
Schwarzschildova rešitev velja le za idealiziran primer: vakuumsko, statično, sferično simetrično telo brez naboja in brez rotacije ter brez kozmološke konstante. Resnični astrofizikalni objekti pogosto rotirajo in/ali imajo naboj, zato se uporabljajo razširitve:
- Kerrova metrika za rotirajoče črne luknje;
- Reissner–Nordströmova metrika za nabite (nenaivno idealizirane) črne luknje;
- Dodajanje kozmološke konstante vodi do Schwarzschild–de Sitter rešitev.
Matematične in fizikalne lastnosti
Schwarzschildova rešitev je edinstvena zaradi Birkhoffovega izreka: vsaka sferično simetrična rešitev vakuuma mora biti stacionarna in je lokalno Schwarzschildova, kar pomeni, da zunaj sferične porazdelitve mase nima gravitacijskega valovanja neposredno povezanega z radialnim nihajem mase. Metrična signatura je običajno (-,+,+,+). Masa M je parametrična konstanta, ki jo opazovalci v neskončnosti identificirajo kot celotno gravitacijsko maso sistema.
Geometrijska razširitev in fizikalna razumevanja
Za popolno fizikalno interpretacijo je pomembna razširitev Schwarzschildovih koordinat v Kruskalove koordinate, ki omogočijo prehod čez horizon in razumevanje notranjosti črne luknje (do singularnosti pri r = 0). Penroseovi diagrani se pogosto uporabljajo za shematično predstavo globalne strukture prostora-časa Schwarzschildove rešitve.
Pomen v sodobni astrofiziki
Schwarzschildova metrika ostaja temeljna teoretična rešitev, z uporabo katere se interpretirajo številni opazovalni pojavi pri črnih luknjah in kompaktnih objektih (gravitacijsko lečenje, akrecijski diski v primeru nerotirajočih modelov, izračuni ISCO itn.). Čeprav realne črne luknje pogosto zahtevajo Kerrovo metriko zaradi rotacije, Schwarzschildova rešitev pogosto služi kot dober prvi približek ali kot testna rešitev za numerične simulacije.
Za nadaljnje učenje: preučite izpeljavo geodetskih enačb v Schwarzschildovi metriki, transformacije v regularne koordinate (Eddington–Finkelstein, Kruskal) in fizikalne posledice za svetlobo in prosti delci (npr. energijsko učinkovite potenciale in lastnosti stabilnosti orbit).
Izpeljava
Čeprav lahko Schwarzschildovo metriko izračunamo na bolj zapleten način z uporabo Christoffelovih simbolov, jo lahko izpeljemo tudi z uporabo enačb za hitrost pobega ( v e {\displaystyle v_{e}}
), časovno dilatacijo (dt') in kontrakcijo dolžine (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}} 
(1)
v je hitrost delca
G je gravitacijska konstanta
M je masa črne luknje
r je razdalja med delcem in težkim predmetom
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' je resnična sprememba časa delca
dt je sprememba časa delca
dr' je resnična prepotovana razdalja
dr je sprememba razdalje delca
v je hitrost delca
c je hitrost svetlobe
Opomba: dejanski časovni interval in dejanska razdalja, ki ju prepotuje delec, se razlikujeta od časa in razdalje, izračunanih v izračunih klasične fizike, saj potuje v tako močnem gravitacijskem polju!
Uporabimo enačbo za ploski prostor-čas v sfernih koordinatah:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds je pot delca
θ {\displaystyle \theta } 
je kot
d θ {\displaystyle \theta } in d ϕ {\displaystyle \phi } 
sta spremembi kotov
Če v enačbo za ploski prostor-čas (enačba 4) vnesemo enačbe za hitrost pobega, časovno dilatacijo in krčenje dolžine (enačbe 1, 2 in 3), dobimo Schwarzschildovo metriko:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(5)
Iz te enačbe lahko izpeljemo Schwarzschildov polmer ( r s {\displaystyle r_{s}}
), polmer te črne luknje. Čeprav se to najpogosteje uporablja za opis Schwarzschildove črne luknje, lahko Schwarzschildov polmer izračunamo za vsako težko telo.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} je določena meja polmera predmeta
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Schwarzschildova metrika?
O: Schwarzschildova metrika je enačba iz splošne teorije relativnosti na področju astrofizike, ki opisuje, kako se delec giblje po prostoru v bližini črne luknje. Izračunal jo je Karl Schwarzschild kot rešitev Einsteinovih enačb polja leta 1916.
V: Na kaj se nanaša metrika?
O: Metrika se nanaša na enačbo, ki opisuje prostor-čas; zlasti Schwarzschildova metrika opisuje gravitacijsko polje okoli Schwarzschildove črne luknje.
V: Katere so nekatere značilnosti Schwarzschildove črne luknje?
O: Schwarzschildova črna luknja se ne vrti, je sferična in nima magnetnega polja. Poleg tega je njena kozmološka konstanta enaka nič.
V: Kako lahko opišemo gravitacijsko polje okoli Schwarzschildove črne luknje?
O: Opišemo ga lahko s Schwartzchildovo metrično enačbo, ki opisuje, kako se delci gibljejo po prostoru v bližini te vrste črne luknje.
V: Kdo je prvi izračunal to enačbo?
O: Karl Schwartzchild je leta 1916 to enačbo prvič izračunal kot rešitev Einsteinovih enačb polja.
V: Kaj pomeni (ds)^2 v tej enačbi?
O: (ds)^2 predstavlja razdaljo med dvema točkama v prostor-času, merjeno glede na časovne in prostorske koordinate.
Iskati