Osnova števila (radix) v matematiki: definicija, številski sistemi in primeri

Razumejte osnove števila (radix): definicija, primeri in številski sistemi (desetiški, binarni, oktalni, šestnajstiški) s praktičnimi razlagami in pretvorbami.

V matematiki je osnova ali radix število različnih številk ali kombinacija številk in črk, ki jih sistem štetja uporablja za predstavitev števil. Najpogosteje uporabljeni sistem je desetiški (osnova 10): ker predpona "dec" pomeni 10, so v njem uporabljene števke od 0 do 9. Večina ljudi meni, da uporabljamo osnovo 10 zaradi desetih prstov, kar je zgodovinsko verjetna razlaga za razširjenost tega sistema.

Kaj pomeni osnova v pozicijskem sistemu

V pozicijskem (ali polaznem) številskem sistemu je osnova n število različnih simbolov (digit), ki jih uporabljamo za zapis enote mesta. Vrednost vsakega mesta v številu je potenca osnove, pomnožena z ustrezno cifro. Na primer v osnovi n je zapis cifre a_k a_{k-1} ... a_1 a_0 enakovreden vrednosti:

Vrednost = a_k·n^k + a_{k-1}·n^{k-1} + ... + a_1·n + a_0.

Osnova je običajno celo število, večje od 1, čeprav so matematično možne tudi neceloštevilske ali negativne osnove ter drugi alternativni sistemi (glej spodaj).

Oznaka osnove in primeri zapisov

Osnovo števila pogosto zapišemo pod številko ali v oklepaju, na primer:

23 8 {\displaystyle 23_{8}} pomeni 23 v osnovi 8 (oktalno), kar je enako 19 v osnovi 10, saj je 2·8 + 3 = 19.

Pogosti številčni sistemi in uporaba

• Binarski (osnova 2): uporablja samo števki 0 in 1. Osnova računalništva; primer: 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2 + 1 = 11₁₀.
• Oktalni (osnova 8): števke 0–7; uporabljen v nekaterih programskih okoljih in zgodovinskih zapisih.
• Desetiški (osnova 10): najpogostejši v vsakdanji rabi; števke 0–9.
• Heksadecimalni (osnova 16): števke 0–9 in črke A–F (za 10–15); zelo pogost v računalništvu za predstavitev bajtov in barv v spletnem oblikovanju.
• Sekstagesimalni (osnova 60): zgodovinsko pomemben za merjenje časa in kotov — minute in sekunde so ostanek tega sistema (glej tudi: O Trecentosexagesimal, Stopinje kota).

Kako pretvoriti število med osnovami

Osnovni postopek pretvorbe iz neke osnove n v desetiško (osnova 10) je računanje po pozicijski formuli (vsota cifre pomnožene z ustrezno potenco osnove). Primer:

• 23₈ → 2·8¹ + 3·8⁰ = 16 + 3 = 19₁₀.

Za pretvorbo iz desetiškega v manjšo osnovo običajno delimo z novo osnovo in zapišemo ostanke v obratnem vrstnem redu. Primer: pretvorba 45₁₀ v binarno:

• 45 ÷ 2 = 22 ostanek 1
• 22 ÷ 2 = 11 ostanek 0
• 11 ÷ 2 = 5 ostanek 1
• 5 ÷ 2 = 2 ostanek 1
• 2 ÷ 2 = 1 ostanek 0
• 1 ÷ 2 = 0 ostanek 1 → beremo ostanke od spodaj navzgor: 101101₂

Posebne in nestandardne osnove

• Negativne osnove (npr. osnova −2) omogočajo predstavitev celih števil brez znaka.
• Neceloštevilske osnove so mogoče matematično in vodijo v nebinarne ali nenavadne zapise; uporabljajo se bolj v teoretičnih razpravah kot v praksi.
• Uravnoteženi sistemi (npr. balanced ternary) uporabljajo simbole, ki predstavljajo pozitivne, ničelne in negativne vrednosti na istem mestu (npr. −1, 0, +1), kar ima uporabne lastnosti pri nekaterih algoritmih.
• Bijektivni sistemi (npr. bijektivna baza k) nimajo simbola za 0 in se uporabljajo v določenih numeričnih predstavitvah brez ničelnih mest.

Zaključek

Osnova števila določa, kateri simboli so dovoljeni in kako se vrednosti posameznih mest seštevajo v končno število. Razumevanje osnov je ključno tako za vsakdanje delo z številkami kot za računalništvo, kriptografijo in zgodovinske meritve časa in kota.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je osnova ali radix v matematiki?

V: Kateri je primer najpogostejše osnove, ki se uporablja danes?

V: Zakaj se najpogosteje uporablja osnova 10?

V: Ali je osnova vedno celo število, večje od 1?

V: Ali so matematično možne neceloštevilske osnove?

V: Kako se označuje osnova števila?

V: Kaj pomeni primer "23 8"?

Išči po črki