Algebraična sorta: definicija in primeri v algebrski geometriji

V matematiki so algebrske sorte (pogosto imenovane tudi sorte) osrednji predmet preučevanja algebrske geometrije. Najpreprostejša (klasična) definicija pravi, da je algebrska sorta množica skupnih ničel nekega sistema polinomskih enačb nad telesom, običajno nad realnimi ali kompleksnimi števili. Sodobnejši pogledi to pojmovanje razširijo in formalizirajo (npr. z uporabo shem), vendar ohranjajo geometrijsko intuicijo iz prvotne definicije.

Definicija in osnovne konvencije

V literaturi se konvencije razlikujejo: nekateri avtorji za algebraično sorto zahtevajo še, da je ireduktibilna — to pomeni, da je ne moremo zapisati kot unijo dveh strogo manjših zaprtih množic v Zariskijevi topologiji. Če avtorji ne zahtevajo ireduktibilnosti, uporabljajo izraz algebračna množica za poljubno množico ničel polinomov, medtem ko izraz "sorta" pogosto označuje ireduktibilno komponento. Vsaka algebraična množica se zato enolično razgradi na unijo svojih ireduktibilnih komponent.

Primeri

• Afina črta A1: brez enačbe — geometrijsko je to enodimenzionalna sorta, katere koordinatni obroč je k[x].
• Afina parabola: množica rešitev y - x^2 = 0 v A^2 ima koordinatni obroč izomorfen k[t] (parametrizirana z x = t, y = t^2) — to je gladka ireduktibilna krivulja.
• Krog: x^2 + y^2 - 1 = 0 v realni ravnini je primer realne algebrske množice; nad kompleksi daje kompleksno krivuljo iste enačbe.
• Singularnosti: krivula z vozliščem (node) ali s šilom (cusp) — na primer y^2 = x^3 + x^2 (vozlišče) ali y^2 = x^3 (šilovita singularnost). Ti primeri pokažejo, da lahko algebrska sorta vsebuje singularne točke.
• Projektivne sorte: definirane z homogenskimi polinomi v projektivnem prostoru; npr. enačba conike v P^2.

Značilnosti in osnovne konstrukcije

Koordinatni obroč: Če je X množica ničel neke množice polinomov v afini prostoru nad telesom k, je njena koordinatna algebra k[X] = k[x1,…,xn]/I(X), kjer I(X) označuje ideal vseh polinomov, ki izginjajo na X. Ta obroč nosi veliko informacij o geometriji sorte: ireduktibilnost X ustreza temu, da je ideal I(X) praideal (radikalni praideal), dimenzija sorte je Krullova dimenzija koordinatnega obroča.

Nullstellensatz: Hilbertov Nullstellensatz povezuje radikale idealov v obroču polinomov s zaprtimi množicami v Zariskijevi topologiji; s tem vzpostavi temeljno povezavo med geometrijskimi objekti (algebračnimi množicami) in algebraičnimi objekti (ideali). Ta rezultat je eden od temeljev klasične algebrske geometrije.

Morfizmi: morfizem med algebrskimi sortami (v afinih primerih) je polinomna preslikava, ki lokalno deluje kot množica polinomskih funkcij. Z algebraičnega vidika so morfizmi med sortami v kategoriji afinih sort izmenični z homomorfizmi k-obročev v nasprotni smeri (funkcijska alias korespondenca).

Dimenzija, gladkost in singularnosti

Dimenzijo algebrske sorte lahko opišemo več enakovrednih načinov: kot največjo dolžino verig strogo vključenih iruduktibilnih podvariet, kot Krullovo dimenzijo koordinatnega obroča, ali za projektivne sorte kot transcendencno stopnjo polja funkcij. Gladkost (smoothness) je lokalni lastnosti: točko imenujemo gladko, če je lokalno obnašanje sorte enako obnašanju afinega prostora (t.j. tangentni prostor ima pričakovano dimenzijo). Singulacije se pogosto določijo z Jacobijevo matriko parcialnih odvodov: ko determinant (ali ustrezne minorne) pade, dobimo singularno točko.

Razlika med mnogoterostjo in raznolikostjo

Pojem mnogoterosti (manifold) iz diferencialne geometrije pomeni topološko oziroma gladko strukturo brez singularnosti; zato vsak lokalni del izgleda kot R^n (ali C^n v kompleksnem primeru). Algebrska raznolikost ali sorta pa lahko vsebuje singularne točke, zato sta pojma podobna, a nista enaka: mnogoterost je vedno gladka, algebrska sorta pa ne nujno.

Povezava z zgodovino in algebro

Temeljni teorem algebre, dokazan okoli leta 1800, je zgodovinsko prvi primer, kjer se algebra poveže z geometrijo — monični polinom v eni spremenljivki je določen z množico svojih korenov. Hilbertov Nullstellensatz je večdimenzionalna generalizacija tega pojma in omogoča izpeljavo številnih algebraičnih in geometrijskih rezultatov. Na ta način se vprašanjem o obnašanju algebrskih množic odgovarja z vprašanji iz teorije obročev, kar je ena od posebnosti in moči algebrske geometrije med ostalimi področji geometrije.

Kratko povzetek

• Algebraična sorta je (po klasični definiciji) množica ničel polinomov; moderni pogledi jo formalizirajo z uporabo koordinatnih obročev in shem.
• Ireduktibilnost, dimenzija, koordinatni obroč in polje funkcij so temeljne invariance, ki določajo geometrijske lastnosti sorte.
• Nullstellensatz povezuje geometrijo in algebro; morfizmi med sortami so ekvivalentni homomorfizmom obročev v nasprotni smeri.
• Razlika med algebrsko sorto in mnogoterostjo je predvsem v morebitnih singularnostih — mnogoterost jih nima, algebrska sorta jih lahko vsebuje.

Za nadaljnje branje ali konkretne izračune so koristni viri o koordinatnih obročih, Nullstellensatzu, teoriji idealov in o projektivnih sortah; pri uvodu v probleme singuralnosti se pogosto uporablja Jacobijev kriterij in primeri krivulj v A^2 ali P^2.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj so algebrske sorte?

V: Kako se sodobne definicije razlikujejo od prvotne definicije?

V: Kakšna je razlika med varieteto in mnogoterostjo?

V: Kaj določa temeljni stavek algebre?

V: Kaj zagotavlja Hilbertov Nullstellensatz?

V: Kako so matematiki uporabili to korespondenco?

Išči po črki