Algebrska varieteta
V matematiki so algebrske sorte (imenovane tudi sorte) eden osrednjih predmetov preučevanja algebrske geometrije. Prve definicije algebrske sorte so jo opredelile kot množico rešitev sistema polinomskih enačb nad realnimi ali kompleksnimi števili. Sodobne definicije algebrske sorte posplošujejo ta pojem, pri čemer skušajo ohraniti geometrijsko intuicijo, ki je bila v ozadju prvotne definicije.
Konvencije glede definicije algebrske sorte se razlikujejo: Nekateri avtorji zahtevajo, da je "algebraična sorta" po definiciji ireduktibilna (kar pomeni, da ni unija dveh manjših množic, ki sta zaprti v Zariskijevi topologiji), drugi pa ne. Kadar se uporablja prva konvencija, se algebraične sorte, ki niso ireduktibilne, imenujejo algebraične množice.
Pojem sorte je podoben pojmu mnogoterosti. Razlika med raznolikostjo in mnogoterostjo je v tem, da ima lahko raznolikost singularne točke, mnogoterost pa ne. Temeljni teorem algebre, dokazan okoli leta 1800, vzpostavlja povezavo med algebro in geometrijo, ko pokaže, da je monični polinom v eni spremenljivki s kompleksnimi koeficienti (algebrski objekt) določen z množico svojih korenov (geometrijski objekt). S posplošitvijo tega rezultata Hilbertov Nullstellensatz zagotavlja temeljno povezavo med ideali polinomskih obročev in algebrskimi množicami. Z uporabo Nullstellensatza in sorodnih rezultatov so matematiki vzpostavili močno povezavo med vprašanji o algebrskih množicah in vprašanji teorije obročev. To ujemanje je posebnost algebrske geometrije med drugimi podpodročji geometrije.
Zvita kubična je projektivna algebrska raznolikost.
Vprašanja in odgovori
V: Kaj so algebrske sorte?
O: Algebrske sorte so eden osrednjih predmetov preučevanja v algebrski geometriji. Definirane so kot množica rešitev sistema polinomskih enačb nad realnimi ali kompleksnimi števili.
V: Kako se sodobne definicije razlikujejo od prvotne definicije?
O: Sodobne definicije skušajo ohraniti geometrijsko intuicijo prvotne definicije in jo hkrati posplošiti. Nekateri avtorji zahtevajo, da je "algebrska sorta" po definiciji ireduktibilna (kar pomeni, da ni unija dveh manjših množic, ki sta zaprti v Zariskijevi topologiji), drugi pa ne.
V: Kakšna je razlika med varieteto in mnogoterostjo?
O: Sorta ima lahko singularne točke, medtem ko jih mnogoterost nima.
V: Kaj določa temeljni stavek algebre?
O: Temeljni teorem algebre vzpostavlja povezavo med algebro in geometrijo, saj pokaže, da je monični polinom v eni spremenljivki s kompleksnimi koeficienti (algebrski objekt) določen z množico svojih korenov (geometrijski objekt).
V: Kaj zagotavlja Hilbertov Nullstellensatz?
O: Hilbertov Nullstellensatz zagotavlja temeljno korespondenco med ideali polinomskih obročev in algebrskimi množicami.
V: Kako so matematiki uporabili to korespondenco?
O: Matematiki so s pomočjo te korespondence vzpostavili močno povezavo med vprašanji o algebrskih množicah in vprašanji teorije obročev.
V: V čem je to področje edinstveno med drugimi podpodročji geometrije? O: Zaradi te močne povezave med vprašanji o algebrskih množicah in vprašanji teorije obročev je to področje edinstveno med drugimi podpodročji v geometriji.
