Algebraična geometrija

Algebrska geometrija je veja matematike, ki preučuje polinomske enačbe. Sodobna algebrska geometrija temelji na bolj abstraktnih tehnikah abstraktne algebre, zlasti komutativne algebre, z jezikom in problemi geometrije.

Glavni predmet preučevanja algebrske geometrije so algebrske sorte, ki so geometrijske manifestacije množic rešitev sistemov polinomskih enačb. Primeri najbolj preučevanih razredov algebrskih variet so: ravninske algebrske krivulje, ki vključujejo premice, kroge, parabole, elipse, hiperbole, kubične krivulje, kot so eliptične krivulje in kvartične krivulje, kot so lemniscate, in Cassinijevi ovali. Točka ravnine pripada algebrski krivulji, če njene koordinate ustrezajo dani polinomski enačbi. Osnovna vprašanja vključujejo preučevanje točk posebnega pomena, kot so singularne točke, inflekcijske točke in točke v neskončnosti. Naprednejša vprašanja vključujejo topologijo krivulje in odnose med krivuljami, ki so podane z različnimi enačbami.

Algebrska geometrija ima osrednje mesto v sodobni matematiki. Koncepti, ki jih uporablja, jo povezujejo z različnimi področji, kot so kompleksna analiza, topologija in teorija števil. Na začetku je algebrska geometrija preučevala sisteme polinomskih enačb v več spremenljivkah. Algebrska geometrija se začne tam, kjer se reševanje enačb konča: V mnogih primerih je iskanje lastnosti, ki jih imajo vse rešitve dane množice enačb, pomembnejše od iskanja določene rešitve: to vodi na nekatera najgloblja področja v vsej matematiki, tako konceptualno kot tehnično.

V 20. stoletju se je algebrska geometrija razdelila na več podpodročij.

• Glavni tok algebrske geometrije je posvečen preučevanju kompleksnih točk algebrskih varietet in na splošno točk s koordinatami v algebrsko zaprtem polju.
• Študij točk algebrske sorte s koordinatami v polju racionalnih števil ali v številskem polju je postal aritmetična geometrija (ali bolj klasično Diofantova geometrija), podpodročje algebrske teorije števil.
• Študij realnih točk algebrske sorte je predmet realne algebrske geometrije.
• Velik del teorije singularnosti je posvečen singularnostim algebrskih variet.
• Ko so se začeli uporabljati računalniki, se je razvilo področje, imenovano "računalniška algebraična geomerija". Gre za presečišče algebrske geometrije in računalniške algebre. Ukvarja se z razvojem algoritmov in programske opreme za preučevanje in iskanje lastnosti eksplicitno danih algebrskih raznovrstnosti.

Velik del razvoja glavnega toka algebrske geometrije v 20. stoletju je potekal v abstraktnem algebrskem okviru, pri čemer je bil vedno večji poudarek na "intrinzičnih" lastnostih algebrskih varietet, ki niso odvisne od posebnega načina vgradnje varietete v okoliški koordinatni prostor. Razvoj topologije, diferencialne in kompleksne geometrije je potekal na podoben način. Eden ključnih dosežkov te abstraktne algebraične geometrije je Grothendieckova teorija shem, ki omogoča uporabo teorije snopov za preučevanje algebraičnih raznovrstnosti na način, ki je zelo podoben njeni uporabi pri preučevanju diferencialnih in analitičnih mnogoterosti. V klasični algebraični geometriji lahko točko afine raznolikosti s pomočjo Hilbertovega Nullstellensatza poistovetimo z maksimalnim idealom koordinatnega obroča, medtem ko so točke ustrezne afine sheme vsi praideali tega obroča. To pomeni, da je lahko točka take sheme bodisi običajna točka bodisi podrazličnost. Ta pristop omogoča tudi poenotenje jezika in orodij klasične algebrske geometrije, ki se ukvarja predvsem s kompleksnimi točkami, in algebrske teorije števil. Wilesov dokaz dolgoletne domneve, imenovane Fermatov zadnji izrek, je primer moči tega pristopa.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je algebrska geometrija?

V: Katere tehnike se uporabljajo v sodobni algebraični geometriji?

V: Katere vrste enačb preučuje algebraična geometrija?

V: Kako uporablja abstraktno algebro?

V: Ali se na tem področju uporablja posebna vrsta jezika?

V: Kako je sodobna tehnologija vplivala na to področje?

Išči po črki