Eulerjeva identiteta (e^{iπ}+1=0): definicija, pomen in zgodovina
Eulerjeva identiteta (e^{iπ}+1=0) — jasna definicija, pomen in zgodovina te najlepše matematične enačbe. Odkrijte izvor, interpretacije in njen vpliv na matematiko.
Ta enačba je Eulerjeva identiteta, včasih imenovana tudi Eulerjeva enačba:
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} 
- π {\displaystyle \pi }
, pi
π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159} 
- e {\displaystyle e}
, Eulerjevo število
e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828} 
- i {\displaystyle i}
, imaginarna enota
ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} 
Eulerjeva identiteta se imenuje po švicarskem matematiku Leonardu Eulerju. Ni jasno, ali jo je izumil sam.
Sodelujoči v anketi Physics World so identiteto označili za "najglobljo matematično izjavo, kar jih je kdajkoli napisanih", "nenavadno in vzvišeno", "polno kozmične lepote" in "osupljivo".
Kaj pomeni ta enačba?
Eulerjeva identiteta pove presenetljivo povezavo med petimi temeljnih matematičnih konstantami: e (osnova naravnega logaritma), π (razmerje obsega in premera kroga), i (imaginarna enota), 1 in 0. Skrajšano: e^{iπ} = −1, torej e^{iπ} + 1 = 0.
Kako jo dobimo — osnovni dokazi
Najpogostejši in najzgoščennejši način pridobitve identitete je z uporabo Eulerjeve formule:
e^{ix} = cos x + i sin x.
Če v tej formuli postavimo x = π, dobimo:
e^{iπ} = cos π + i sin π = −1 + i·0 = −1, kar neposredno daje e^{iπ} + 1 = 0.
Dokaz Eulerjeve formule (Taylorjeve vrste): zapišemo Taylorjeve vrste za e^{ix}, cos x in sin x okoli 0:
- e^{ix} = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + ...
- cos x = 1 − x^2/2! + x^4/4! − ...
- sin x = x − x^3/3! + x^5/5! − ...
Če v prvo vrsto zberemo realne in imaginarne dele, dobimo natanko cos x + i sin x, torej e^{ix} = cos x + i sin x. Ta pristop zahteva znanje o konvergenci vrst, vendar je standarden v analizah kompleksnih funkcij.
Alternativni dokaz (geometrijska interpretacija): kompleksno število e^{iθ} predstavlja rotacijo v kompleksni ravnini za kot θ okoli izhodišča. Rotacija za kot π zavrti točko 1 na nasprotno stran kroga, torej na −1.
Pomen in uporaba
- Matematična lepota in jedrnatost: identiteta povezuje osnovne operacije in konstante v eni enostavni enačbi, zato jo pogosto navajajo kot primer matematične eleganci.
- Analiza in kompleksne funkcije: Eulerjeva formula je temelj za obravnavo kompleksnih eksponentov, Fourierove vrste in transformacije ter reševanje diferencialnih enačb.
- Fizika in inženirstvo: uporabljena je pri valovnih enačbah, kvantni mehaniki, signalni obdelavi, električnih krožnih analizah (impedanca), pri obravnavi oscilacij in faz.
- Praktične aplikacije: sinusoide in njihove linearne kombinacije se pogosto zapišejo kot eksponentne izraze e^{iωt} zaradi lažjega računanja in poenostavljenih formul za integracijo in odvajanje.
Zgodovina
Euler (1707–1783) je v delu Introductio in analysin infinitorum (1748) sistematično uveljavil povezavo med eksponentno funkcijo in trigonometrijo ter predstavil zapis e^{ix} = cos x + i sin x. V praviloma zgodovinskih opisih Euler dobi zasluge za razširitev in popularizacijo te formule; vendar so bili nekateri delni rezultati o povezavah med logaritmi in trigonometrijskimi funkcijami znani že prej (npr. delo Rogerja Cotesa). V vsakem primeru pa je Euler tisti, ki je zvezo zapisal in uporabil v obliki, ki je postala standardna.
Opombe in pogoste zmote
- Eulerjeva identiteta ni "dokaz" resničnosti imaginarnih števil — temelj tega je definicija kompleksnih števil in lastnosti eksponentne funkcije v kompleksni domeni.
- Obstaja več ustreznih načinov vedenja o e^{z} za kompleksno z (vrstne definicije, limitne definicije, diferencialne enačbe). Vsi konsistentno vodijo do Eulerjeve formule v ustreznih pogojih.
- Nekateri umetniški ali popularni navedki pretiravajo z osebnim pomenom izjave — matematična lepota je subjektivna, a pomen identitete v teoriji in aplikacijah je nedvoumen.
Zaključek
Eulerjeva identiteta e^{iπ}+1=0 je kratka, jedrnata enačba, ki izraža globoko povezavo med osnovnimi strukturami matematike: eksponentom, krožnico (trigonometrijo), imaginarno enoto in osnovnimi številskimi vrednostmi 1 in 0. Zaradi svoje preprostosti in širokega razpona uporabe ostaja ena najbolj prepoznavnih in cenjenih formul v matematiki in znanosti.
Matematični dokaz Eulerjeve identitete z uporabo Taylorjeve vrste
Veliko enačb lahko zapišemo kot niz členov, ki jih seštejemo. To imenujemo Taylorjeva vrsta
Eksponentno funkcijo e x {\displaystyle e^{x}}
lahko zapišemo kot Taylorjevo vrsto
e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} 
Tudi sinus lahko zapišemo kot
sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \nad 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} 
in kosinus kot
cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \nad 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} 
Tu vidimo vzorec, ki se oblikuje. e x {\displaystyle e^{x}} je videti kot vsota sinusov in kosinusov Taylorjeve vrste, le da so vsi znaki spremenjeni v pozitivne. Identiteta, ki jo dejansko dokazujemo, je e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
.
Na levi strani je torej e i x {\displaystyle e^{ix}} 
, katerega Taylorjeva vrsta je 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } 
Tu lahko opazimo vzorec, da je vsak drugi člen i-krat sinusov člen, drugi členi pa so kosinusovi členi.
Na desni strani je cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} 
, katere Taylorjeva serija je Taylorjeva serija kosinusov in i-kratnik Taylorjeve serije sinusov, kar je mogoče prikazati kot:
( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} 
če jih seštejemo, dobimo
1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }
Zato:
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
Če zdaj x nadomestimo s π {\displaystyle \pi } , dobimo..
- e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}
Potem vemo, da
- cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}
in .
- sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}
Zato:
- e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
- e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
QED
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je Eulerjeva identiteta?
O: Eulerjeva identiteta, včasih imenovana Eulerjeva enačba, je enačba, ki vsebuje matematične konstante pi, Eulerjevo število in imaginarno enoto skupaj s tremi osnovnimi matematičnimi operacijami (seštevanje, množenje in raztegovanje). Enačba je e^(i*pi) + 1 = 0.
V: Kdo je bil Leonard Euler?
O: Leonard Euler je bil švicarski matematik, po katerem se imenuje identiteta. Ni jasno, ali jo je izumil sam.
V: Kakšni so nekateri odzivi na Eulerjevo identiteto?
O: Sodelujoči v anketi Physics World so identiteto označili za "najglobljo matematično izjavo, kar jih je bilo kdaj napisanih", "nenavadno in vzvišeno", "polno kozmične lepote" in "osupljivo".
V: Katere so nekatere konstante v tej enačbi?
O: V tej enačbi so konstante pi (približno 3,14159), Eulerjevo število (približno 2,71828) in imaginarna enota (enaka -1).
V: Katere operacije so v tej enačbi?
O: V tej enačbi so prikazane naslednje operacije: seštevanje, množenje in eksponentnost.
V: Kako lahko matematično izrazimo pi?
O: Pi lahko matematično izrazimo kot π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159}.
V: Kako lahko matematično izrazimo Eulerjevo število? O: Eulerjevo število lahko matematično izrazimo kot e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828}.
Iskati