Eulerjeva enačba

Ta enačba je Eulerjeva identiteta, včasih imenovana tudi Eulerjeva enačba:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Eulerjevo število

e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , imaginarna enota

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Eulerjeva identiteta se imenuje po švicarskem matematiku Leonardu Eulerju. Ni jasno, ali jo je izumil sam.

Sodelujoči v anketi Physics World so identiteto označili za "najglobljo matematično izjavo, kar jih je bilo kdajkoli napisanih", "nenavadno in vzvišeno", "polno kozmične lepote" in "osupljivo".

Matematični dokaz Eulerjeve identitete z uporabo Taylorjeve vrste

Veliko enačb lahko zapišemo kot niz členov, ki jih seštejemo. To imenujemo Taylorjeva vrsta

Eksponentno funkcijo e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ lahko zapišemo kot Taylorjevo vrsto

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Tudi sinus lahko zapišemo kot

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \nad 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

in kosinus kot

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \nad 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Tu vidimo vzorec, ki se oblikuje. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ je videti kot vsota sinusov in kosinusov Taylorjeve vrste, le da so vsi znaki spremenjeni v pozitivne. Identiteta, ki jo dejansko dokazujemo, je e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Na levi strani je torej e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , katerega Taylorjeva vrsta je 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Tu lahko opazimo vzorec, da je vsak drugi člen i-krat sinusov člen, drugi členi pa so kosinusovi členi.

Na desni strani je cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , katere Taylorjeva serija je Taylorjeva serija kosinusov in i-kratnik Taylorjeve serije sinusov, kar je mogoče prikazati kot:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

če jih seštejemo, dobimo

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Zato:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Če zdaj x nadomestimo s π {\displaystyle \pi } $\pi$ , dobimo..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Potem vemo, da

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

in .

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Zato:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Eulerjeva identiteta?

O: Eulerjeva identiteta, včasih imenovana Eulerjeva enačba, je enačba, ki vsebuje matematične konstante pi, Eulerjevo število in imaginarno enoto skupaj s tremi osnovnimi matematičnimi operacijami (seštevanje, množenje in raztegovanje). Enačba je e^(i*pi) + 1 = 0.

V: Kdo je bil Leonard Euler?

O: Leonard Euler je bil švicarski matematik, po katerem se imenuje identiteta. Ni jasno, ali jo je izumil sam.

V: Kakšni so nekateri odzivi na Eulerjevo identiteto?

O: Sodelujoči v anketi Physics World so identiteto označili za "najglobljo matematično izjavo, kar jih je bilo kdaj napisanih", "nenavadno in vzvišeno", "polno kozmične lepote" in "osupljivo".

V: Katere so nekatere konstante v tej enačbi?

O: V tej enačbi so konstante pi (približno 3,14159), Eulerjevo število (približno 2,71828) in imaginarna enota (enaka -1).

V: Katere operacije so v tej enačbi?

O: V tej enačbi so prikazane naslednje operacije: seštevanje, množenje in eksponentnost.

V: Kako lahko matematično izrazimo pi?

O: Pi lahko matematično izrazimo kot π ≈ 3,14159 {\displaystyle \pi \aprox 3,14159}.

V: Kako lahko matematično izrazimo Eulerjevo število? O: Eulerjevo število lahko matematično izrazimo kot e ≈ 2,71828 {\displaystyle e\aprox 2,71828}.