Taylorjeva vrsta: definicija, izpeljava in praktični primeri

Taylorjeva vrsta: jasna definicija, korak za korakom izpeljava in praktični primeri za študente in inženirje. Primeri, izpeljave in uporabe v fiziki, kemiji in računstvu.

Avtor: Leandro Alegsa

13-10-2025 15:32

Taylorjeva vrsta je zamisel, ki se uporablja v računalništvu, računstvu, kemiji, fiziki in drugih vrstah matematike na višji ravni. To je vrsta, ki se uporablja za ustvarjanje ocene (ugibanja), kako je videti funkcija. Obstaja tudi posebna vrsta Taylorjeve vrste, ki se imenuje Maclaurinova vrsta.

Teorija Taylorjeve vrste je, da če izberemo točko na koordinatni ravnini (osi x in y), lahko uganemo, kakšna bo funkcija na območju okoli te točke. To naredimo tako, da vzamemo izpeljanke funkcije in jih seštejemo. Ideja je, da je mogoče sešteti neskončno število odvodov in dobiti eno samo končno vsoto.

V matematiki Taylorjeva vrsta prikazuje funkcijo kot vsoto neskončnih vrst. Členi vsote so vzeti iz derivatov funkcije. Taylorjeve vrste izhajajo iz Taylorjevega teorema.

Definicija in osnovna formula

Naj bo f funkcija, ki ima na točki a odvode vseh redov. Taylorjeva vrsta funkcije f okoli točke a je zapisana kot:

f(x) = Σ_{n=0}^∞ f^(n)(a) / n! · (x − a)^n

Tu f^(n)(a) pomeni n-ti odvod funkcije f v točki a, in n! je faktorial števila n. Poseben primer, ko je a = 0, imenujemo Maclaurinova vrsta:

f(x) = Σ_{n=0}^∞ f^(n)(0) / n! · x^n

Izpeljava in ostanek (Lagrange)

Taylorjev izrek pove, da za dovolj gladko funkcijo (imeti mora vsaj n+1 odvodov na intervalu med a in x) velja razcep na polinom stopnje n in ostanek R_n(x):

f(x) = Σ_{k=0}^n f^(k)(a) / k! · (x − a)^k + R_n(x)

Lagrangeova oblika ostanka je:

R_n(x) = f^(n+1)(ξ) / (n+1)! · (x − a)^(n+1)

za neko ξ med a in x. Ta izraz omogoča oceno napake pri približku s Taylorjevim polinomom reda n — če znamo mejo za (n+1)-ti odvod na intervalu, lahko ocenimo velikost ostanka.

Konvergenca in analytčnost

Pomembno je razlikovati med tem, da je funkcija n-krat zvezno odvedljiva in da je enaka svoji Taylorjevi vrsti. Če funkcija »sovpada« s svojo Taylorjevo vrsto v okolici točke, pravimo, da je funkcija analitična v tej točki. Veliko pomembnih funkcij (npr. eksponentna funkcija, sinus, kosinus, logaritemske pretvorbe na primernih domenah) je analitičnih in njihove Taylorjeve vrste konvergirajo na celotnem območju interesa ali v krogu konvergence, ki ga določa bližnja singularnost v kompleksni ravnini.

Vendar obstajajo gladke (infinitely differentiable) funkcije, ki niso analitične — njihova Taylorjeva vrsta ne konvergira k funkciji ali konvergira le v točki. Klasičen primer je funkcija e^(−1/x^2) za x ≠ 0 z dodatkom vrednosti 0 v x = 0; vsi odvodi v 0 so 0, zato je Maclaurinova vrsta enaka 0, funkcija pa ni povsod enaka tej vrsti.

Praktični primeri

Eksponentna funkcija: e^x = Σ_{n=0}^∞ x^n / n! (Maclaurinova vrsta). Konvergira za vsa realna x.
Sinus in kosinus: sin x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!, cos x = Σ_{n=0}^∞ (−1)^n x^{2n} / (2n)!. Uporabno za približke pri majhnih x: sin x ≈ x, cos x ≈ 1 − x^2/2.
Logaritem okoli 0: ln(1+x) = Σ_{n=1}^∞ (−1)^{n+1} x^n / n za |x| < 1.

Računski primer: približek e^{0.5}

Uporabimo Maclaurinovo vrsto e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... in vzamemo x = 0.5 ter polinom do 3. reda:

1 + 0.5 + 0.5^2/2 + 0.5^3/6 = 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0208333 = 1.6458333.

Dejanska vrednost e^{0.5} ≈ 1.6487213, torej je napaka približno 0.002888. Ocenimo ostanek R_3 z Lagrangeovo formo: R_3 ≤ e^{ξ} / 4! · (0.5)^4 za neko ξ med 0 in 0.5. Ker e^{ξ} ≤ e^{0.5} ≈ 1.6487, dobimo zgornjo mejo približno 0.0043, kar potrjuje, da je izračun dovolj natančen za mnoge praktične namene.

Uporaba v praksi

Numerične metode: Taylorjeve vrste omogočajo oblikovanje algoritmov za izračun funkcij z omejenim številom členov in kontrolo napake.
Fizika in inženirstvo: linearizacije okoli ravnovesnih točk (npr. majhni zamiki pri nihalih) posredujejo poenostavljene modele (sin x ≈ x).
Reševanje diferencialnih enačb: metode serijskih rešitev (power series) uporabljajo Taylorjeve vrste za iskanje rešitev okoli regularnih točk.
Analiza napak in optimizacija: aproksimacijske formule in ocene ostanka so ključne za zagotavljanje zanesljivosti izračunov.

Kaj naj zapomnite

Taylorjeva vrsta je močnejše orodje kot le računanje odvoda — povezuje lokalno vedenje funkcije z njenimi odvodi v eni točki.
Da bi bila vrsta uporabna kot natančen opis funkcije, mora funkcija biti analitična v okolici točke; sicer je lahko le uveljavna aproksimacija z omejeno natančnostjo.
Ocenjevanje ostanka (npr. Lagrangeov ostanek) je nujno za nadzor napak pri praktičnih aproksimacijah.

Animacija, ki prikazuje uporabo Taylorjeve vrste za aproksimacijo funkcije. Modra črta prikazuje eksponentno funkcijo f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}. $f(x)=e^{x}$ . Rdeči črti prikazujeta vsoto n izpeljank - to je n+1 členov Taylorjeve vrste. Z večanjem n se rdeča črta približuje modri črti.

Zgodovina

Zamisel o tej seriji je prvi predstavil starogrški filozof Zenon iz Eleje. Nastal je paradoks, imenovan "Zenova parodoksija". Menil je, da bi bilo nemogoče sešteti neskončno število vrednosti in kot rezultat dobiti eno samo končno vrednost.

Drugi grški filozof, Aristotel, je podal odgovor na filozofsko vprašanje. Arhimed pa je bil tisti, ki je s svojo metodo izčrpavanja ponudil matematično rešitev. Dokazal je, da če nekaj razdelimo na neskončno število drobnih koščkov, bodo ti še vedno sestavljeni v eno samo celoto, ko jih vse ponovno seštejemo. Starodavni kitajski matematik Liu Hui je nekaj sto let pozneje dokazal isto.

Najstarejši znani primeri Taylorjeve serije so delo Mādhave iz Sañgamāgrame v Indiji iz leta 1300. Kasnejši indijski matematiki so pisali o njegovem delu s trigonometričnimi funkcijami sinus, kosinus, tangens in arktangens. Danes ne obstaja noben od Mādhavovih spisov ali zapisov. Drugi matematiki so svoje delo oprli na Mādhavova odkritja in se s temi vrstami več ukvarjali do leta 1500.

Na tem področju je v 16. stoletju deloval škotski matematik James Gregory. Gregory je preučeval Taylorjeve vrste in objavil več Maclaurinovih vrst. Leta 1715 je Brook Taylor odkril splošno metodo za uporabo vrste za vse funkcije. (Vse prejšnje raziskave so pokazale, kako metodo uporabiti le za določene funkcije.) Colin Maclaurin je leta 1700 objavil poseben primer Taylorjeve vrste. Ta vrsta, ki temelji na ničli, se imenuje Maclaurinova vrsta.

Opredelitev

Taylorjevo vrsto lahko uporabimo za opis katere koli funkcije ƒ(x), ki je gladka funkcija (ali, v matematičnem jeziku, "neskončno diferencirana").Funkcija ƒ je lahko realna ali kompleksna. Taylorjevo vrsto nato uporabimo za opisovanje videza funkcije v okolici nekega števila a.

Ta Taylorjeva vrsta, zapisana kot močnostna vrsta, je videti takole:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

To formulo lahko zapišemo tudi v zapisu sigma kot:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Tu je n! faktorial števila n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) je n-ta izpeljanka ƒ v točki a. a {\displaystyle a} je število v področju funkcije. Če je Taylorjeva vrsta funkcije enaka tej funkciji, se funkcija imenuje "analitična funkcija".

Serija Maclaurin

Ko a = 0 {\displaystyle a=0} $a=0$ , se funkcija imenuje Maclaurinova vrsta. Maclaurinova vrsta, zapisana kot močnostna vrsta, izgleda takole:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Maclaurinova vrsta je zapisana v zapisu sigma:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Skupna Taylorjeva vrsta

Nekatere pomembne Taylorjeve in Maclaurinove serije so naslednje.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ za vse x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za vse}x\! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ za vse x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za vse}x\! } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 za vse x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{text{ za vse }}x\! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n za vse x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za vse }}x\! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ za vse x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ za vse }}x\! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ za vse | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ za vse}|x|<1} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n za vse | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{text{ za vse }}|x|<1} $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ za | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Pri čemer je B n {\displaystyle B_{n}} $B_{n}$ n-to Bernoullijevo število, ln {\displaystyle \ln } pa $\ln$ naravni logaritem.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je Taylorjeva serija?

O: Taylorjeva vrsta je zamisel, ki se uporablja v računalništvu, računstvu, kemiji, fiziki in drugih vrstah matematike na višji ravni. To je vrsta, ki se uporablja za ustvarjanje ocene (ugibanja), kako izgleda funkcija.

V: Kakšna je razlika med Taylorjevo in Maclaurinovo vrsto?

O: Obstaja tudi posebna vrsta Taylorjeve vrste, ki se imenuje Maclaurinova vrsta.

V: Kakšna je teorija Taylorjeve vrste?

O: Teorija Taylorjeve vrste je, da če izberemo točko na koordinatni ravnini (osi x in y), potem lahko uganemo, kako bo videti funkcija v območju okoli te točke.

V: Kako je funkcija ustvarjena s Taylorjevo vrsto?

O: To naredimo tako, da vzamemo izpeljanke funkcije in jih seštejemo. Ideja je, da je mogoče sešteti neskončno število derivatov in dobiti eno samo končno vsoto.

V: Kaj kaže Taylorjeva vrsta v matematiki?

O: V matematiki Taylorjeva vrsta prikazuje funkcijo kot vsoto neskončnih vrst. Členi vsote so vzeti iz odvodov funkcije.

V: Od kod izvirajo Taylorjeve vrste?

O: Taylorjeve vrste izhajajo iz Taylorjevega teorema.

V: Na katerih področjih se običajno uporablja Taylorjeva vrsta?

O: Taylorjeva vrsta se pogosto uporablja v računalništvu, računstvu, kemiji, fiziki in drugih vrstah matematike na višji ravni.

Iskati