Taylorjeva vrsta: definicija, izpeljava in praktični primeri

Zamisel o tej seriji je prvi predstavil starogrški filozof Zenon iz Eleje. Nastal je paradoks, imenovan "Zenova parodoksija". Menil je, da bi bilo nemogoče sešteti neskončno število vrednosti in kot rezultat dobiti eno samo končno vrednost.

Drugi grški filozof, Aristotel, je podal odgovor na filozofsko vprašanje. Arhimed pa je bil tisti, ki je s svojo metodo izčrpavanja ponudil matematično rešitev. Dokazal je, da če nekaj razdelimo na neskončno število drobnih koščkov, bodo ti še vedno sestavljeni v eno samo celoto, ko jih vse ponovno seštejemo. Starodavni kitajski matematik Liu Hui je nekaj sto let pozneje dokazal isto.

Najstarejši znani primeri Taylorjeve serije so delo Mādhave iz Sañgamāgrame v Indiji iz leta 1300. Kasnejši indijski matematiki so pisali o njegovem delu s trigonometričnimi funkcijami sinus, kosinus, tangens in arktangens. Danes ne obstaja noben od Mādhavovih spisov ali zapisov. Drugi matematiki so svoje delo oprli na Mādhavova odkritja in se s temi vrstami več ukvarjali do leta 1500.

Na tem področju je v 16. stoletju deloval škotski matematik James Gregory. Gregory je preučeval Taylorjeve vrste in objavil več Maclaurinovih vrst. Leta 1715 je Brook Taylor odkril splošno metodo za uporabo vrste za vse funkcije. (Vse prejšnje raziskave so pokazale, kako metodo uporabiti le za določene funkcije.) Colin Maclaurin je leta 1700 objavil poseben primer Taylorjeve vrste. Ta vrsta, ki temelji na ničli, se imenuje Maclaurinova vrsta.

Taylorjevo vrsto lahko uporabimo za opis katere koli funkcije ƒ(x), ki je gladka funkcija (ali, v matematičnem jeziku, "neskončno diferencirana").Funkcija ƒ je lahko realna ali kompleksna. Taylorjevo vrsto nato uporabimo za opisovanje videza funkcije v okolici nekega števila a.

Ta Taylorjeva vrsta, zapisana kot močnostna vrsta, je videti takole:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

To formulo lahko zapišemo tudi v zapisu sigma kot:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}

Tu je n! faktorial števila n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) je n-ta izpeljanka ƒ v točki a. a {\displaystyle a} je število v področju funkcije. Če je Taylorjeva vrsta funkcije enaka tej funkciji, se funkcija imenuje "analitična funkcija".

Serija Maclaurin

Ko a = 0 {\displaystyle a=0} , se funkcija imenuje Maclaurinova vrsta. Maclaurinova vrsta, zapisana kot močnostna vrsta, izgleda takole:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Maclaurinova vrsta je zapisana v zapisu sigma:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Nekatere pomembne Taylorjeve in Maclaurinove serije so naslednje.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ za vse x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ za vse}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ za vse x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ za vse}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 za vse x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{text{ za vse }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n za vse x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ za vse }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ za vse x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ za vse }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ za vse | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ za vse}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n za vse | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{text{ za vse }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ za | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}}+\cdots {\text{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}! }

Pri čemer je B n {\displaystyle B_{n}} n-to Bernoullijevo število, ln {\displaystyle \ln } pa naravni logaritem.