Hiperbolična geometrija: definicija, osnovni pojmi in modeli

Zanimiva lastnost hiperbolične geometrije izhaja iz pojava več kot ene vzporedne premice skozi točko P: obstajata dva razreda neprekrivajočih se premic. Naj bo B točka na l takšna, da je premica PB pravokotna na l. Upoštevajmo premico x skozi P tako, da x ne seka l, kot θ med PB in x proti smeri urinega kazalca od PB pa je čim manjši; to pomeni, da bo vsak manjši kot prisilil premico, da seka l. To se v hiperbolični geometriji imenuje asimptotska premica. Simetrično bo asimetrična tudi premica y, ki tvori enak kot θ med PB in seboj, vendar v smeri urinega kazalca od PB. x in y sta edini dve premici, ki sta asimetrični z l skozi P. Vse druge premice skozi P, ki ne sekajo l in imajo s PB kot večji od θ, imenujemo ultraparalelne (ali disjunktno vzporedne) z l. Ker obstaja neskončno število možnih kotov med θ in 90 stopinjami in vsak od njih določa dve premici skozi P in disjunktno vzporedni z l, obstaja neskončno število ultraparalelnih premic.

Tako dobimo spremenjeno obliko vzporednega postulata: V hiperbolični geometriji, če imamo poljubno premico l in točko P, ki ni na l, obstajata natanko dve premici skozi P, ki sta asimptotski z l, in neskončno veliko premic skozi P, ki so ultraparalelne z l.

Razlike med temi vrstami premic lahko opazujemo tudi na naslednji način: razdalja med asimptotičnimi premicami v eni smeri teče proti ničli, v drugi pa narašča neomejeno; razdalja med ultraparalelnimi premicami narašča v obeh smereh. Ultraparalelni izrek pravi, da v hiperbolični ravnini obstaja edinstvena premica, ki je pravokotna na vsako od danega para ultraparalelnih premic.

V evklidski geometriji je kot vzporednosti konstanta; to pomeni, da vsaka razdalja ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } med vzporednima premicama daje kot vzporednosti, ki je enak 90°. V hiperbolični geometriji se kot vzporednosti spreminja s funkcijo Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Ta funkcija, ki jo je opisal Nikolaj Ivanovič Lobačevski, daje edinstven kot vzporednosti za vsako razdaljo p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . S krajšanjem razdalje se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} približuje 90°, z večanjem razdalje pa se Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} približuje 0°. Tako se hiperbolična ravnina z manjšimi razdaljami obnaša vse bolj podobno evklidski geometriji. Na majhnih lestvicah v primerjavi s 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , kjer je K {\displaystyle K\! } je (konstantna) Gaussova ukrivljenost ravnine, bi opazovalec težko določil, ali je na evklidski ali hiperbolični ravnini.

Vzporedni postulat so poskušali dokazati številni geometri, med njimi Omar Khayyám, pozneje pa Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert in Legendre. Njihovi poskusi so bili neuspešni, vendar je iz njihovih prizadevanj nastala hiperbolična geometrija. Alhacenovi in Khayyamovi izreki o štirikotnikih so bili prvi izreki o hiperbolični geometriji. Njuna dela o hiperbolični geometriji so vplivala na njen razvoj med poznejšimi evropskimi geometri, vključno z Witelom, Alfonsom in Johnom Wallisom.

V devetnajstem stoletju sta hiperbolično geometrijo raziskovala János Bolyai in Nikolaj Ivanovič Lobačevski, po katerem se včasih tudi imenuje. Lobačevski jo je objavil leta 1830, Boljaj pa jo je odkril neodvisno in objavil leta 1832. Hiperbolično geometrijo je preučeval tudi Karl Friedrich Gauss, ki je leta 1824 v pismu Taurinu opisal, da jo je konstruiral, vendar svojega dela ni objavil. Leta 1868 je Eugenio Beltrami priskrbel njene modele in s tem dokazal, da je hiperbolična geometrija skladna, če je evklidska geometrija skladna.

Izraz "hiperbolična geometrija" je leta 1871 uvedel Felix Klein. Za več zgodovine glej članek o neevklidski geometriji.

Za hiperbolično geometrijo se običajno uporabljajo trije modeli: Kleinov model, model Poincaréjevega diska in Lorentzev model ali model hiperboloida. Ti modeli opredeljujejo realni hiperbolični prostor, ki izpolnjuje aksiome hiperbolične geometrije. Kljub poimenovanju je oba modela diska in model polplošče kot modela hiperboličnega prostora uvedel Beltrami in ne Poincaré ali Klein.

1. Kleinov model, znan tudi kot model projektivnega diska in Beltrami-Kleinov model, uporablja notranjost kroga za hiperbolično ravnino, kot črte pa se uporabljajo akordi kroga.
2. Poincaréjev model polovične ravnine obravnava polovico evklidske ravnine, kot jo določa evklidska črta B, kot hiperbolično ravnino (sama črta B ni vključena).
• Hiperbolične črte so potemtakem bodisi polkrogi, pravokotni na B, bodisi žarki, pravokotni na B.
• Oba Poincaréjeva modela ohranjata hiperbolične kote in sta zato konformna. Vse izometrije znotraj teh modelov so torej Möbiusove transformacije.
• Model polovične ploskve je (na meji) enak modelu Poincaréjevega diska na robu diska
• Ta model se neposredno uporablja v posebni teoriji relativnosti, saj je 3-prostor Minkowskega model za prostor-čas, ki ukinja eno prostorsko dimenzijo. Hiperboloid lahko predstavlja dogodke, ki jih bodo različni gibajoči se opazovalci, ki se v prostorski ravnini širijo navzven iz ene točke, dosegli v določenem pravem času. Hiperbolično razdaljo med dvema točkama na hiperboloidu lahko nato poistovetimo z relativno hitrostjo med dvema ustreznima opazovalcema.

M. Znani grafiki C. Escherja z naslovom Circle Limit III in Circle Limit IV dobro ponazarjata konformni model diska. Na obeh lahko vidimo geodezijo. (Na krogu III bele črte niso geodezike, temveč hipercikli, ki tečejo vzporedno z njimi.) Prav tako je mogoče jasno videti negativno ukrivljenost hiperbolične ravnine, ki vpliva na vsoto kotov v trikotnikih in kvadratih.

V evklidski ravnini bi njuna kota znašala 450°; to je krog in četrtina. Iz tega vidimo, da mora biti vsota kotov trikotnika v hiperbolični ravnini manjša od 180°. Druga vidna lastnost je eksponentna rast. V omejitvi kroga IV lahko na primer vidimo, da število angelov in demonov na razdalji n od središča eksponentno narašča. Demoni imajo enako hiperbolično površino, zato mora površina krogle s polmerom n naraščati eksponentno v n.

Hiperbolično ravnino (ali njen približek) lahko fizično izvedemo na več načinov. Za posebej znan papirnati model, ki temelji na psevdosferi, je zaslužen William Thurston. Umetnost kvačkanja je bila uporabljena za prikaz hiperboličnih ravnin, pri čemer je prvo izdelala Daina Taimina. Leta 2000 je Keith Henderson pokazal hitro izdelan papirnati model, imenovan "hiperbolična nogometna žoga".