Matematična analiza: definicija, funkcije, diferencialni račun in integrali

Matematična analiza je del matematike. Pogosto se skrajšuje na analizo. Obravnava funkcije, zaporedja in vrste. Te imajo uporabne lastnosti in značilnosti, ki jih lahko uporabimo v inženirstvu. Matematična analiza obravnava zvezne funkcije, diferencialni račun in integracijo.

Gottfried Wilhelm Leibniz in Isaac Newton sta razvila večino osnov matematične analize.

Kaj zajema matematična analiza

Matematična analiza preučuje temeljne pojme, kot so meja (limit), zveznost, odvod in integral. Na teh temeljih gradimo tehnike za reševanje problemov pri modeliranju sprememb, optimizaciji in izračunu površin ter prostornin. Analiza povezuje diskretne pojave (zaporedja, vrste) z zveznimi (funkcije) in omogoča prehod med njima z uporabo pojma meje.

Glavne teme in koncepti

Meje: definicija meje funkcije in zaporedja, ε–δ (epsilon-delta) formalizem za rigorozno opredelitev meje.
Zveznost: kaj pomeni, da je funkcija zvezna v točki in na intervalu ter lastnosti zveznih funkcij (npr. medsebojne vrednosti).
Zaporedja in vrste: konvergenca zaporedij in vrst, kriteriji za absolutno/ pogojno konvergenco, uporabne serije (npr. Taylorjeve in Fourierove vrste).
Diferencialni račun: odvod kot hitrost spremembe, osnovna pravila odvodi (vsote, produkt, verižni zakon), implicitno diferenciranje, verjetno tudi višji odvodi.
Integralni račun: nedoločen integral (pojmovanje antiderivata), določen integral in njegova uporaba za izračun površin, prostornin, dela, srednjih vrednosti; temeljni izrek analize, ki povezuje odvod in integral.

Diferencialni račun – praktično

V diferencialnem računu iščemo odvod funkcije f(x), ki nam pove hitrost spremembe vrednosti funkcije glede na spremembo neodvisne spremenljivke. Odvod se pogosto označi kot f'(x) ali df/dx. Osnovne tehnike vključujejo:

pravila za diferenčne operatorje (vsota, produkt, kvocient),
verižni zakon za sestavljene funkcije,
uporaba odvoda za iskanje kritičnih točk in določanje ekstremov (maksim, minim),
uporaba drugega odvoda za določanje konveksnosti/ konkavnosti funkcije.

Primer praktične uporabe: v fiziki odvod položaja po času daje hitrost, odvod hitrosti pa pospešek.

Integralni račun – osnovno in uporabe

Integral je nasprotna operacija odvajanju. Obstajata dve glavni vrsti integrala:

Nedoločen integral: družina funkcij F(x) z lastnostjo F'(x) = f(x), zapisano kot ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Določen integral: številska vrednost, ki predstavlja neto površino pod krivuljo med dvema točkama; zapisano kot ∫_a^b f(x) dx. Ta integral je povezan s seštevanjem majhnih prispevkov (Riemannove vsote).

Temeljni izrek analize pove, da je integral funkcije na intervalu enak razliku vrednosti katerega koli antiderivata na robovih intervala: ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) kadar je F' = f.

Integrali se uporabljajo pri izračunu površin, prostornin vrtenjem, izračunu dela v fiziki, verjetnostnih pričakovanjih in pri reševanju diferencialnih enačb.

Analiza več spremenljivk in nadaljnji razvoj

Ko se ukvarjamo s funkcijami več spremenljivk, se pojavljajo pojmi parcialnih odvoda, gradienta, divergenče, rotacije in večdimenzionalnih integralov. Pomembni rezultati vključujejo Greenov, Stokesov in Gaussov izrek, ki povezujejo integrale po različnih dimenzijah.

Naprednejša področja analize vključujejo realno analizo (rigorozna obravnava realnih števil in funkcij), kompleksno analizo (funkcije kompleksne spremenljivke), funkcionalno analizo (preslikave med funkcijskimi prostori) ter teorijo meri in integrala (Lebesgueov integral), ki razširi uporabnost integrala pri zahtevnejših problemih.

Uporabe in pomen

Matematična analiza je temelj mnogih ved: fizike, inženirstva, ekonomije, statistike, računalništva in biomedicine. Uporablja se za modeliranje dinamičnih sistemov, optimizacijo procesov, analizo signalov in oblikovanje kontrolnih sistemov.

Kratek zgodovinski povzetek

Poleg Gottfried Wilhelm Leibniz in Isaac Newton, so razvoj analize pomembno vplivali tudi matematikanci 19. stoletja, na primer Cauchy, Weierstrass in Riemann, ki so uvedli stroge definicije in formalizem (ε–δ pristop, teorija konvergence, Riemannov integral). Kasnejši prispevki so razširili teorijo z uvedbo Lebesgueovega integrala in funkcionalne analize.

Analiza ostaja živo in raznoliko področje matematike, saj nenehno nudi orodja za razumevanje in reševanje novih problemov v znanosti in tehnologiji.

Deli matematične analize

Omejitve

Primer za matematično analizo so meje. Meje se uporabljajo za ugotavljanje, kaj se dogaja zelo blizu stvari. Meje se lahko uporabljajo tudi za ugotavljanje, kaj se zgodi, ko so stvari zelo velike. Na primer, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ ni nikoli nič, vendar se z večanjem n 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ približuje ničli. Meja 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ je z večanjem n enaka nič. Običajno pravimo: "Meja 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ${\frac {1}{n}}$ , ko gre n v neskončnost, je nič". Zapišemo jo kot lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

Primerjava bi bila 2 × n {\displaystyle {2}\krat {n}}. ${2}\times {n}$ . Ko se n {\displaystyle {n}} ${n}$ poveča, gre meja v neskončnost. Zapišemo jo kot lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

Temeljni stavek algebre lahko dokažemo iz nekaterih osnovnih rezultatov kompleksne analize. Pravi, da ima vsak polinom f ( x ) {\displaystyle f(x)} z f(x) realnimi ali kompleksnimi koeficienti kompleksni koren. Koren je število x, ki daje rešitev f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} $f(x)=0$ . Nekateri od teh korenov so lahko enaki.

Diferencialni račun

Funkcija f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} $f(x)={m}{x}+{c}$ je premica. M {\displaystyle {m}} ${m}$ kaže naklon funkcije, c {\displaystyle {c}} ${c}$ pa položaj funkcije na ordinati. Z dvema točkama na premici lahko naklon m {\displaystyle {m}} ${m}$ izračunamo z:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Funkcija v obliki f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ ki ni linearna, ni mogoče izračunati na zgornji način. Naklon je mogoče izračunati le z uporabo tangent in sekant. Sekansa poteka skozi dve točki, in ko se točki približata, se spremeni v tangento.

Nova formula je m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

To se imenuje količnik razlike. Količnik x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ je zdaj bližje x 0 {\displaystyle x_{0}}. $x_{0}$ . To lahko izrazimo z naslednjo formulo:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

Rezultat imenujemo derivat ali naklon f v točki x {\displaystyle {x}} ${x}$ .

Integracija

Integracija se nanaša na izračun površin.

Simbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

se bere kot "integral funkcije f od a do b" in se nanaša na površino med osjo x, grafom funkcije f in premicama x=a in x=b. Točka a {\displaystyle a} je točka, kjer se območje začne, točka b {\displaystyle b} $b$ pa točka, kjer se območje konča.

Sorodne strani

Nekatere teme analize so:

Calculus
Kompleksna analiza
Funkcionalna analiza
Numerična analiza

Nekatere koristne ideje pri analizi so:

Serija
Zaporedja
Izvedeni finančni instrumenti
Integrali

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je matematična analiza?

O: Matematična analiza je del matematike, ki obravnava funkcije, zaporedja in vrste. Zagotavlja strogo logično podlago za računanje, ki preučuje zvezne funkcije, diferenciacijo in integracijo.

V: Katera so ključna podpodročja matematične analize?

O: Nekatera ključna podpodročja matematične analize so realna analiza, kompleksna analiza, diferencialne enačbe in funkcionalna analiza.

V: Kako se lahko matematična analiza uporablja v inženirstvu?

O: Matematično analizo lahko v inženirstvu uporabimo tako, da preučimo uporabne lastnosti in značilnosti funkcij, zaporedij in vrst.

V: Kdo je razvil večino osnov za matematično analizo?

O: Gottfried Wilhelm Leibniz in Isaac Newton sta razvila večino osnov za matematično analizo.

V: Kako se je matematična analiza imenovala prej?

O: Staro ime za matematično analizo je bilo "infinitezimalni" ali "račun".

V: Kako je kalkulus povezan z matematično analizo?

O: Kalkulus preučuje zvezne funkcije, diferenciacijo in integracijo, kar je vse povezano s področjem matematike, znanim kot matematična analiza.