Matematična analiza

Deli matematične analize

Omejitve

Primer za matematično analizo so meje. Meje se uporabljajo za ugotavljanje, kaj se dogaja zelo blizu stvari. Meje se lahko uporabljajo tudi za ugotavljanje, kaj se zgodi, ko so stvari zelo velike. Na primer, 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ni nikoli nič, vendar se z večanjem n 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} približuje ničli. Meja 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} je z večanjem n enaka nič. Običajno pravimo: "Meja 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} , ko gre n v neskončnost, je nič". Zapišemo jo kot lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Primerjava bi bila 2 × n {\displaystyle {2}\krat {n}}. . Ko se n {\displaystyle {n}} poveča, gre meja v neskončnost. Zapišemo jo kot lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Temeljni stavek algebre lahko dokažemo iz nekaterih osnovnih rezultatov kompleksne analize. Pravi, da ima vsak polinom f ( x ) {\displaystyle f(x)} z realnimi ali kompleksnimi koeficienti kompleksni koren. Koren je število x, ki daje rešitev f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Nekateri od teh korenov so lahko enaki.

Diferencialni račun

Funkcija f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}} je premica. M {\displaystyle {m}} kaže naklon funkcije, c {\displaystyle {c}} pa položaj funkcije na ordinati. Z dvema točkama na premici lahko naklon m {\displaystyle {m}} izračunamo z:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Funkcija v obliki f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} ki ni linearna, ni mogoče izračunati na zgornji način. Naklon je mogoče izračunati le z uporabo tangent in sekant. Sekansa poteka skozi dve točki, in ko se točki približata, se spremeni v tangento.

Nova formula je m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

To se imenuje količnik razlike. Količnik x 1 {\displaystyle x_{1}} je zdaj bližje x 0 {\displaystyle x_{0}}. . To lahko izrazimo z naslednjo formulo:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Rezultat imenujemo derivat ali naklon f v točki x {\displaystyle {x}} .

Integracija

Integracija se nanaša na izračun površin.

Simbol ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

se bere kot "integral funkcije f od a do b" in se nanaša na površino med osjo x, grafom funkcije f in premicama x=a in x=b. Točka a {\displaystyle a} je točka, kjer se območje začne, točka b {\displaystyle b} pa točka, kjer se območje konča.

Sorodne strani

Nekatere teme analize so:

• Calculus
• Kompleksna analiza
• Funkcionalna analiza
• Numerična analiza

Nekatere koristne ideje pri analizi so:

• Serija
• Zaporedja
• Izvedeni finančni instrumenti
• Integrali