Monty Hallov problem – razlaga paradoksa in verjetnosti (2/3 proti 1/3)

Problem Montyja Halla je znan problem na področju verjetnosti (naključja). Problem temelji na ameriški televizijski igri Let's Make a Deal. Poimenovan je po tej oddaji, Monty Hall.

Pravila so preprosta: stojijo tri vrata. Za enim je avto (visoka nagrada), za ostalima dvema pa sta kozi (nižja nagrada). Igralec najprej izbere ena vrata, a jih ne odpre. Nato gostitelj, ki ve, kaj je za vrati, odpre ena od preostalih vrat — vedno takšna vrata, za katerimi je koza (če je igralec prvotno izbral avto, ima gostitelj enake možnosti, da odpre katera od dveh vrat s kozami). Nazadnje gostitelj igralcu ponudi možnost: obdrži prvotno izbiro ali pa zamenja in izbere vrata, ki jih gostitelj ni odprl.

Ključno predpostavko: gostitelj vedno odpre vrata z kozo in vedno ponudi možnost menjave. Če te predpostavke ni (npr. gostitelj kdaj odpira avto ali kdaj ne ponudi menjave), se verjetnosti spremenijo.

Zakaj menjati poveča možnosti

Na prvi pogled se zdi, da sta dve zaprti vrata enakovredni (oba primera 50:50), vendar temu ni tako. Ko igralec prvič izbere vrata, ima 1 od 3 možnosti (1/3), da izbere avto, in 2 od 3 (2/3), da izbere kozo. Pomembno je, da gostitelj sistematično odpre vrata z kozo — s tem ne razveljavi prvotnih verjetnosti.

Če igralec prvotno izbere vrata z avtom (verjetnost 1/3), potem po tem, ko gostitelj odpre kozo, menjava pomeni, da bo igralec izbral kozo (torej izgubi). Če pa je igralec prvotno izbral kozo (verjetnost 2/3), potem gostitelj obvezno odpre drugo kozo in z menjavo igralec dobi preostala vrata — torej avto. Zato je verjetnost zmage ob menjavi enaka verjetnosti, da je bila prvotna izbira koza, torej 2/3.

Matematično: P(zmaga | zamenja) = P(prvotna izbira = koza) = 2/3. P(zmaga | obdrži) = P(prvotna izbira = avto) = 1/3.

Izvedba z izčrpnim seznamom primerov

Označimo vrata A, B in C, avto je za enim izmed njih. Recimo, da igralec vedno najprej izbere vrata A. Možni zapleti so:

Primer 1 (1/3): Avto je za vrati A (igralec je izbral avto). Gostitelj odpre eno od vrat B ali C, za katerimi je koza. Če igralec zamenja, izgubi (dobi kozo).
Primer 2 (1/3): Avto je za vrati B (igralec je izbral kozo A). Gostitelj ne sme odpreti vrat B (ima avto), zato odpre vrata C (koza). Če igralec zamenja na vrata B, zmaga (dobi avto).
Primer 3 (1/3): Avto je za vrati C (igralec je izbral kozo A). Gostitelj odpre vrata B (koza). Če igralec zamenja na vrata C, zmaga (dobi avto).

Torej je v 2 od 3 primerov (primer 2 in 3) z menjavo zmaga, v 1 od 3 (primer 1) pa izguba. Zato z menjavo verjetnost zmage naraste z 1/3 na 2/3.

Intuitivni primer z 100 vrati

Za boljše razumevanje si zamislite različico z 100 vrati, kjer je za enim avto, za 99 pa koze. Igralec izbere ena vrata — verjetnost, da je izbral avto, je 1%. Gostitelj nato odpre 98 vrat z kozami, pri čemer pusti zaprta le vrata igralčeve izbire in še ena vrata. Če ima igralec zdaj možnost zamenjati na to eno preostalo vrata, je smiselno zamenjati — verjetnost, da so ta vrata avto, je približno 99%, saj je bila prvotna izbira skoraj zagotovo koza.

Pogoste zmede in opombe

Pomembno je, da gostitelj ve, kje je avto, in da vedno odpre vrata z kozo in vedno ponudi menjavo. Če gostitelj ravna drugače (npr. včasih naključno odpre vrata ali včasih ne ponudi menjave), se verjetnosti spremenijo in problem ni več klasični Monty Hallov problem.
Argument "po odprtju sta dve vrata, torej 50:50" zanemari informacijo, ki jo gostiteljovo dejanje prinese — gostiteljova odločitev ni naključena brez informacij, ampak je pogojena na tem, kje je avto.

Sklep: ob klasičnih pravilih Monty Hallovega problema zamenjava poveča možnosti z 1/3 na 2/3 — zato je statistično smiselno vedno zamenjati.

Vprašanja in odgovori

V: Kaj je problem Monty Hall?

O: Problem Monty Hall je znan problem verjetnosti (naključja), ki temelji na televizijski oddaji Let's Make a Deal iz Združenih držav Amerike. Gre za tri vrata, od katerih ima eno za seboj avto, dve pa imata za seboj kozo.

V: Kaj ve gostitelj?

O: Gostitelj ve, kaj je za posameznimi vrati, in vedno se odloči odpreti vrata, za katerimi je koza.

V: Ali sprememba izbire poveča možnost, da dobiš avto?

O: Da, sprememba izbire poveča možnosti za pridobitev avtomobila z 1/3 (ena od treh) na 2/3 (dve od treh).

V: Kako deluje ta verjetnost?

O: Pri začetni izbiri vrat je le 1/3 možnosti, da bo igralec izbral vrata z avtomobilom. Potem pa obstaja 2/3 možnosti, da bo igralec dobil avtomobil, če bo zamenjal izbiro, potem ko bo videl, da je gostitelj odprl ena od drugih vrat.

V: Ali so vse možnosti enake z vidika zmage ali poraza?

O: Ne, obstajajo tri različne možnosti za zmago ali poraz, ki so odvisne od tega, ali spremenite svojo izbiro, ko gostitelj odpre ena od drugih vrat. Če na začetku izberete pravilno in nato spremenite izbiro, izgubite; če na začetku izberete napačno, vendar nato spremenite izbiro, zmagate; če na začetku izberete pravilno, vendar nato ne spremenite izbire, prav tako zmagate.

V: Ali je res, da zamenjava poveča vaše možnosti za zmago v dveh od treh primerov?

O: Da, res je, da zamenjava poveča vaše možnosti za zmago v dveh od treh primerov.