Logaritemska lestvica - definicija in uporaba (potresi, zvok, pH)
Logaritemska lestvica je način prikaza količin, ki pokrivajo zelo širok razpon vrednosti. Pogosto se uporablja za moč potresa, jakost zvoka, jakost svetlobe in pH raztopin, ker pretvori velike množinske razlike v vsote ali razlike, ki so lažje za primerjavo.
Kaj pomeni "logaritemska lestvica"?
Na klasični linearni lestvici so enake razdalje enake absolutne razlike (npr. od 1 do 2 je enako kot od 2 do 3). Pri logaritemski lestvici pa so enake razdalje enaki razmerji (množitelji). Vrednost na logaritemski lestvici je torej običajno logaritem dejanske količine glede na neko referenčno vrednost ali glede na osnovo (npr. log10).
Zakaj in kje se uporablja?
- Stiskanje velikega razpona: če podatki segajo od 1 do 1 000 000, jih log10 pretvorba zmanjša na območje 0–6, kar olajša risanje in primerjavo.
- Senzorična zaznava: Nekatera čutila delujejo približno logaritemsko — čutila pogosto reagirajo na razmerja dražljajev, ne na absolutne razlike (glej Stevensov zakon moči).
- Praktične meritve: Logaritemske enote so uporabne pri metrikah, kjer je pomembno razmerje med vrednostmi, npr. pri zvoku, svetlobi, kislosti (pH) in potresnih magnitudah.
- Računska enostavnost: Množenje razmer (npr. 10× in potem še 100×) postane seštevanje logaritmov — zato so bile drsne logaritmične lestvice (drsni računi) dolgo uporabljene za hitro množenje in deljenje.
Primeri: potresi, zvok, pH
- Potresi: Magnituda potresa (npr. Richterjeva ali lokalna magnituda) temelji na dekadnem logaritemu amplitud seizmičnih valov. Približno velja: razlika 1 v magnitude pomeni približno 10-kratno razliko v amplitudi valov in približno 31,6-kratno razliko v sproščeni energiji (10^(1.5)). Tako je potres magnitude 7 okoli 31-krat močnejši v sproščeni energiji kot potres magnitude 6.
- Zvok (decibel): Zvok običajno merimo v decibelih (dB), kar je logaritemska mera. Za energijske (moč) količine velja: level = 10·log10(I / I0). Za amplitudne količine, kot je zvočni tlak, se uporablja: level = 20·log10(p / p0). Decibel je relativna enota — vedno je potreben referenčni nivo (npr. prag slišnosti I0 ali p0).
- pH: pH = −log10[H+], kjer [H+] označuje koncentracijo vodikovih ionov (mol/L). Vsaka enota pH pomeni desetkratno spremembo koncentracije vodikovih ionov: pH 6 ima 10-krat več [H+] kot pH 7.
Matematična razlaga
Osnovni izraz logaritemske mere je lahko zapisan kot:
L = k · log_b (X / X0)
kjer je X izmerjana količina, X0 referenca (če je potrebna), b osnova logaritma (npr. 10 ali e) in k faktor škale. Pogoste posebne oblike so:
- pH = −log10[H+]
- SPL (zvočni tlak) = 20·log10(p / p0)
- Moč v decibelih = 10·log10(P / P0)
Pomembna lastnost: razmerje X2 / X1 se v logaritemski skali pretvori v razliko L2 − L1 = k·log_b(X2 / X1). Torej multipliciranje dejanske količine postane seštevanje na log lestvici.
Prednosti in omejitve
- Prednosti: olajša primerjavo zelo različnih vrednosti, poudari relativne spremembe, bolje predstavlja zaznavne odzive (npr. sluh).
- Omejitve: ni mogoče izračunati logaritma nič ali negativnih števil; logaritemska transformacija lahko prikrije majhne absolutne razlike okoli majhnih vrednosti; interpretacija zahteva poznavanje reference in osnove logaritma.
Praktični primeri za lažjo predstavo
- Če zvočni tlak naraste 10-krat, se raven v dB (za tlak) poveča za 20 dB (20·log10(10) = 20).
- Če se [H+] zmanjša za faktor 100, se pH poveča za 2 enoti (−log10(1/100) = +2).
- Graf s logaritemsko osjo je koristen, kadar eno izmed osi zajema več redov velikosti; ravne črte na log-log grafu pomenijo potence, na pol-log grafu pa eksponente.
Na koncu: logaritemska lestvica omogoča enostavnejše delo s širokimi razponi in ustreza mnogim naravnim in tehničnim lastnostim signalov in zaznavanja. Hkrati pa je treba paziti na izbiro reference, osnove in razumevanje, da so vrednosti relativne, ne absolutne.
Z logaritemsko lestvico lahko enostavno primerjate vrednosti, ki pokrivajo velik razpon, kot na primer na tem zemljevidu.
Dve logaritemski lestvici drsnega merila
Primeri
Znani primeri takšnih lestvic so:
- Richterjeva lestvica magnitude in lestvica momentne magnitude (MMS) za moč potresov in premikanje zemlje.
- bel ter decibel in neper za akustično moč (glasnost) in električno moč;
- štetje zaslonk za razmerja fotografske ekspozicije;
- ocenjevanje majhnih verjetnosti s številom "devetk" v decimalni razširitvi verjetnosti, da se ne bodo zgodile: na primer, sistem, ki bo odpovedal z verjetnostjo 10−5je 99,999 % zanesljiv: "pet devetk".
- Entropija v termodinamiki.
- Informacije v teoriji informacij.
- Krivulje porazdelitve velikosti delcev v tleh
Nekatere logaritemske lestvice so bile oblikovane tako, da velike vrednosti (ali razmerja) osnovne količine ustrezajo majhnim vrednostim logaritemske mere. Primeri takšnih lestvic so:
- pH za kislost;
- lestvica zvezdnih velikosti za svetlost zvezd;
Logaritemska lestvica je tudi grafična lestvica na eni ali obeh straneh grafa, kjer je število x izpisano na razdalji c-log(x) od točke, označene s številko 1. Logaritemsko lestvico ima drsno pravilo, logaritemske lestvice pa pogosto uporabljajo tudi nomogrami. Na logaritemski lestvici je enaka velikostna razlika predstavljena z enako razdaljo. Geometrijska sredina dveh števil je sredina med njima.
Logaritemski grafični papir je bil pred pojavom računalniške grafike osnovno znanstveno orodje. Grafi na papirju z eno logaritemsko lestvico lahko prikažejo eksponentne zakone, na logaritemskem papirju pa zakone moči kot ravne črte (glej pollograf, logaritemski graf).
Vprašanja in odgovori
V: Kaj je logaritemska lestvica?
O: Logaritemska lestvica je lestvica, ki se uporablja pri velikem razponu količin.
V: Kateri so primeri stvari, ki jih lahko merimo na logaritemski skali?
O: Na logaritemski lestvici lahko merimo moč potresa, glasnost zvoka, jakost svetlobe, hitrost širjenja epidemij in pH raztopin.
V: V čem se logaritemska lestvica razlikuje od standardne linearne lestvice?
O: Logaritemska lestvica temelji na velikostnih redih in ne na standardni linearni lestvici. Vrednost vsake oznake na lestvici je vrednost prejšnje oznake, pomnožena s konstanto.
V: Kakšna je prednost uporabe logaritemske lestvice?
O: Logaritemska lestvica lahko zmanjša velik razpon vrednosti na bolj obvladljiv razpon, kar je lahko koristno pri obravnavi podatkov, ki zajemajo širok razpon vrednosti.
V: Kaj je Stevensov zakon moči in kako je povezan z logaritemsko lestvico?
O: Stevensov zakon moči opisuje, kako nekatera naša čutila delujejo na logaritemski način, pri čemer se z množenjem dejanske vhodne moči zaznani moči signala doda konstanta. Zato so logaritemske lestvice za te vhodne količine še posebej primerne.
V: Zakaj je logaritemska lestvica še posebej uporabna za merjenje glasnosti zvoka?
O: Naš sluh zaznava enake mnogokratnike frekvenc kot enake razlike v višini zvoka, zato lahko logaritemska lestvica natančno predstavi to razmerje med frekvenco zvoka in zaznano glasnostjo.
V: Kakšno je razmerje med majhnimi večkratniki osnovne količine in logaritemsko mero na večini logaritemskih lestvic?
O: Na večini logaritemskih lestvic majhni večkratniki (ali razmerja) osnovne količine ustrezajo majhnim (po možnosti negativnim) vrednostim logaritemske mere.
