Površinski integral
V matematiki je površinski integral določen integral, ki se uporablja na površini (ki je lahko krivulja v prostoru). Podobno kot pri linijskem integralu obravnavamo eno dimenzijo ali eno spremenljivko, si lahko površinski integral predstavljamo kot dvojni integral po dveh dimenzijah. Ob dani površini lahko integriramo njena skalarna polja (to so funkcije, ki vračajo števila kot vrednosti) in vektorska polja (to so funkcije, ki vračajo vektorje kot vrednosti).
Površinski integrali se uporabljajo v fiziki, zlasti v klasični teoriji elektromagnetizma.
Definicija površinskega integrala temelji na razdelitvi površine na majhne površinske elemente.
Prikaz posameznega elementa površine. Ti elementi so s postopkom omejevanja neskončno majhni, da se približajo površini.
Površinski integrali skalarnih polj
Razmislite o površini S, na kateri je definirano skalarno polje f. Če si predstavljamo, da je S izdelana iz neke snovi in je za vsak x v S število f(x) gostota snovi na x, potem je površinski integral f nad S masa na enoto debeline S. (To velja le, če je površina neskončno tanka lupina.) Eden od pristopov k izračunu površinskega integrala je, da površino razdelimo na veliko zelo majhnih delov, predpostavimo, da je na vsakem delu gostota približno konstantna, ugotovimo maso na enoto debeline vsakega dela tako, da pomnožimo gostoto dela z njegovo površino, nato pa dobljena števila seštejemo in ugotovimo skupno maso na enoto debeline S.
Da bi našli eksplicitno formulo za površinski integral, matematiki parametrizirajo S tako, da na S upoštevajo sistem krivuljnih koordinat, kot sta zemljepisna širina in dolžina na krogli. Naj bo takšna parametrizacija x(s, t), pri čemer se (s, t) spreminja v nekem območju T v ravnini. Potem je površinski integral podan z
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\krat {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\desno|ds\,dt} 
kjer je izraz med črticami na desni strani velikost navzkrižnega produkta parcialnih derivatov x(s, t).
Če želimo na primer ugotoviti površino neke splošne funkcionalne oblike, na primer z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, moramo
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\krat {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\\right\|dx\,dy} 
kjer je r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Torej ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} 
in ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Torej,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}} 
ki je formula za površino splošne funkcionalne oblike. Vektor v drugi vrstici zgoraj lahko prepoznamo kot normalni vektor na površino.
Upoštevajte, da zgornje formule zaradi navzkrižnega produkta veljajo le za površine, ki so vgrajene v tridimenzionalni prostor.
Površinski integrali vektorskih polj
Vzemimo vektorsko polje v na S, tj. za vsak x v S je v(x) vektor.
Površinski integral je mogoče definirati komponentno v skladu z definicijo površinskega integrala skalarnega polja; rezultat je vektor. To na primer velja za električno polje v neki fiksni točki zaradi električno nabite površine ali za gravitacijo v neki fiksni točki zaradi plasti materiala. Z njim lahko izračunamo tudi magnetni tok skozi površino.
Matematiki lahko integrirajo tudi normalno komponento vektorskega polja; rezultat je skalar. Primer je tekočina, ki teče skozi S, tako da v(x) določa hitrost tekočine pri x. Tok je opredeljen kot količina tekočine, ki steče skozi S v časovni enoti.
Iz tega prikaza sledi, da je tok enak nič, če je vektorsko polje v vsaki točki tangentno na S, saj tekočina teče le vzporedno s S, ne pa niti navznoter niti navzven. To pomeni tudi, da če v ne teče samo vzdolž S, tj. če ima v tangencialno in normalno komponento, potem k toku prispeva samo normalna komponenta. Na podlagi tega razmišljanja moramo za določitev pretoka v v vsaki točki izvesti točkovni produkt v z enotsko površinsko normalo na S, s čimer dobimo skalarno polje, in dobljeno polje integrirati, kot je opisano zgoraj. Tako dobimo formulo
∫ S v ⋅ d S = ∫ S ( v ⋅ n ) d S = ∬ T v ( x ( s , t ) ) ⋅ ( ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t ) d s d t . {\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\krat {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\desno)ds\,dt. } 
Presečni produkt na desni strani tega izraza je površinska normala, ki jo določa parametrizacija.
Ta formula določa integral na levi strani (upoštevajte piko in vektorski zapis za element površine).
Vektorsko polje na površini.
Teme, ki vključujejo površinske integrale
Z uporabo diferencialne geometrije in vektorskega računa lahko izpeljemo različne uporabne rezultate za površinske integrale, kot sta teorem o divergenci in njegova posplošitev, Stokesov teorem.
Napredna vprašanja
Spreminjanje parametrizacije
V zgornji razpravi je bil površinski integral opredeljen z uporabo parametrizacije površine S. Dana površina ima lahko več parametrizacij. Na primer, če na krogli premaknemo lokaciji severnega in južnega tečaja, se za vse točke na krogli spremenita zemljepisna širina in dolžina. Naravno vprašanje je torej, ali je definicija integralnega števila površine odvisna od izbrane parametrizacije. Za integrale skalarnih polj je odgovor na to vprašanje preprost: vrednost površinskega integrala bo enaka ne glede na to, katero parametrizacijo uporabimo.
Integrali vektorskih polj so bolj zapleteni, saj je vključena površinska normala. Matematiki so dokazali, da če imamo dve parametrizaciji iste površine, katerih površinske normale kažejo v isto smer, obe parametrizaciji dajeta enako vrednost površinskega integrala. Če pa normale teh parametrizacij kažejo v nasprotnih smereh, je vrednost površinskega integrala, dobljena z eno parametrizacijo, negativna od vrednosti, dobljene z drugo parametrizacijo. Iz tega sledi, da se nam pri dani površini ni treba držati nobene edinstvene parametrizacije, vendar pa se moramo pri integriranju vektorskih polj vnaprej odločiti, v katero smer bo kazala normala, in nato izbrati katero koli parametrizacijo, ki je skladna s to smerjo.
Parametrizacije delujejo na delih površine
Druga težava je, da včasih površine nimajo parametriziranja, ki bi pokrivalo celotno površino; to velja na primer za površino valja (končne višine). Očitna rešitev je, da površino razdelimo na več delov, izračunamo površinski integral za vsak del in nato vse seštejemo. Tako stvari dejansko delujejo, vendar je treba pri integriranju vektorskih polj ponovno paziti, kako izbrati normalni vektor za vsak del površine, da so rezultati, ko dele ponovno sestavimo skupaj, skladni. Za valj to pomeni, da če se odločimo, da bo normala za stransko območje kazala ven iz telesa, potem mora normala kazati ven iz telesa tudi za zgornji in spodnji krožni del.
Nedosledne normale površine
Nazadnje, obstajajo površine, ki nimajo površinske normale v vsaki točki, kar daje skladne rezultate (na primer Möbiusov trak). Če takšno površino razdelimo na dele, za vsak del izberemo parametrizacijo in ustrezno površinsko normalo ter dele ponovno sestavimo, se normalni vektorji, ki izhajajo iz različnih delov, ne morejo uskladiti. To pomeni, da bosta na nekem stičišču med dvema deloma normalna vektorja kazala v nasprotnih smereh. Takšno površino imenujemo neorientirana. Vektorskih polj ni mogoče integrirati na neorientiranih površinah.
Sorodne strani
- Teorem o divergenci
- Stokesov teorem
- Linijski integral
- Integralni volumen
- kartezični koordinatni sistem
- Elementi prostornine in površine v sferičnem koordinatnem sistemu
- Elementi prostornine in površine v cilindričnem koordinatnem sistemu
- Holstein-Herringova metoda
